문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 자연수 (문단 편집) ==== [anchor(범자연수)]범자연수(0을 포함하는 공리계) ==== [include(틀:수 체계)] [math( \mathbb{N_{0}} = \{ 0,~1,~2,~3,~\cdots \})] [[https://www.splashmath.com/math-vocabulary/number-sense/whole-numbers|Whole Numbers]](범자연수)라고 한다.[* 어디까지나 비공식적으로 널리 쓰일 뿐이지, 대한수학회 확인 결과 정식적으로 번역된 용어가 없으므로 유의할 것.][* [[컴퓨터과학]]에서는 unsigned integer라는 표현을 쓴다. 말 그대로 '부호가 없는 [[정수]]'.] 덧셈의 항등원인 0 이 자연수 체계에 빠져 있는 것은 여러모로 불편하다. 현대의 수학자들은 페아노 공리를 적당히 변형하여, 아래와 같은 0 이 포함된 자연수 체계를 만들었다. 다음 성질들을 만족하는 집합 [math(\mathbb{N})]을 가리켜 자연수 집합이라고 한다 1. [math(\mathbb{N})]은 [math(0)]이라고 불리는 특별한 한 원소를 가진다. 1. [math(\mathbb{N})]의 임의의 원소 [math(n)]에 대하여 그 [math(n)]의 다음 수(successor) [math(n^+)]도 [math(\mathbb{N})]의 원소다. 1. [math(0)]을 다음 수로 갖는 원소는 [math(\mathbb{N})]에 존재하지 않는다. 1. [math(\mathbb{N})]의 두 원소가 같은 다음 수를 가진다면, 두 원소는 같다. 1. (자연수의 귀납적 정의) [math(\mathbb{N})]의 부분집합 [math(S)]가 [math(0\in S)]이며, 임의의 [math(n \in S)]에 포함되는 임의의 원소 [math(n)]에 대하여 [math(n^+ \in S)]라면, [math(S = \mathbb{N})]이다. 사실 이것은 1 이 0 으로 바뀐 것을 제외하고는 토씨하나 다른 점 없이 완전히 동일하다. 0을 포함하는 공리계에서 실제로 달라지는 것은 후술할 '덧셈과 곱셈의 정의'이다. 무작정, 첫 번째 원소를 1 에서 0 으로 바꿔 버리면 0+0=1 이라는 직관에서 한참 벗어난 결과가 튀어 나온다. 최초의 원소를 무엇으로 놓느냐에 대한 완전한 합의는 아직 없는 것 같아 보인다.[* 당장 몇몇 정수론 관련 책만 봐도 상황을 알 수 있다. 0부터 시작하는 걸 다루는 책으로 Halmos, Paul (1960), Naive Set Theory와 Hamilton, A. G. (1988), Logic for Mathematician의 예시를 들 수 있고 1부터 시작하는 걸 다루는 책으로 Morash, Ronald P. (1991), Bridge to Abstract Mathematics: Mathematical Proof and Structures를 들 수도 있다. 참고로 [[https://en.wikipedia.org/wiki/Natural_number|영문 위키]]에서는 0부터 시작한다.]만 봐도 무슨 상황인지 알 수 있을 것이다. 실제로 0으로 시작하느냐 1로 시작하느냐에 따라 내용이 좀 바뀐다. 바로 위 공리들에서는 단순히 기호 바꿔쓰기에 불과하지만 덧셈과 곱셈의 정의로 가면 기호만 바꿔쓰기를 넘어서는 차이를 보인다. 즉, 단순히 기호만 바꿔 쓰는 것이 아니라 '''0을 우리가 아는 그 0처럼 (대수적으로) 쓰겠다고 선언하는 것이다.''' 자세한 내용은 아래에 덧셈과 곱셈의 정의를 다룰 때 서술할 것이다. 사실 페아노가 처음 이 공리를 제시했을 때에는 1로 시작하는 공리를 내세웠지만 후대에 가서 0으로 시작하는 경우를 고안해냈고, 지금과 같이 둘이 공존하게 된 상황이 된 것이다. 아무래도, 후술하겠지만, 집합론에서 자연수를 구성할 때 0부터 시작하기 때문에 페아노 공리도 0부터 시작하는 것이 더 낫다고 여겨 그런 것인 듯. 대수적으로도 이래저래 다루기 더 편리한 것도 있고.[* 어떤 연산에 대한 항등원이 있느냐 없느냐 하는 차이가 해당 연산을 다룰 때 매우 큰 차이를 만든다.] 그렇다고 오해해선 안 되는 게, 페아노 공리 자체에 어떤 결함이 있다든가 하는 건 결코 아니라는 것이다. 0부터 시작하든 1부터 시작하든 사실 그 후로 전개되는 내용은 맨 처음 자잘한 것만 빼고 완전히 똑같으며, 단지 편리함~~혹은 취향~~의 차이만 있을 뿐이다. '''다만 그럼에도 0부터 시작하는 자연수와 1부터 시작하는 자연수는 엄연히 다른 것이니, 주의해야 할 것이다.''' [[초등학교 수학]]의 1학년 1학기 첫 단원이 이 0을 포함한 변형 페아노 공리계를 간략화한 내용이다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기