문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 일반화 (문단 편집) == [[수학]]에서 == [include(틀:과학 연구·실험)] [include(틀:논리학)] [include(틀:수학기초론)] 수학에서 말하는 일반화란, 어떤 집합에서 성립하는 성질을 그 집합을 포함하는 집합을 넘어 집합을 포함하지만 집합이 아닌 모임으로까지 확장하거나, 개별적이고 특수한 대상에 적용되고 그치는 것이 아닌 '''절대적이고 보편적인 법칙'''을 밝혀내는 것이다. 이 과정은 거시적으로는 [[패러다임 시프트]]까지도 수반할 수 있는 변혁의 과정이기 때문에 누가 보기에는 고정관념에 대한 반역 내지는 [[배째라]](...)로 여겨질 수 있지만, 결과적으로는 수학의 운동장을 넓히고 보편화하는 방향으로 이어지고 있다. 그리고 이는 다른 유사(?)한 학문에도 제법 영향을 끼쳤다. [[알베르트 아인슈타인]]의 [[특수 상대성 이론]]과 [[일반 상대성 이론]]이 좋은 예인데, 애초에 아인슈타인이 오늘날 한국으로 치면 [[수학교육과]]&[[물리교육과]] 복수전공자임을 생각하면 당연한 네이밍이다. [[아이작 뉴턴]]의 고전역학에서 상대성이론 및 양자역학 등의 현대물리학으로 발전하는 물리학사 역시 이런 의미의 일반화 과정이라 할 수 있을 것이다. * [[수학적 귀납법]] * n계 [[도함수]] (n은 자연수) → fractional calculus (자연수→실수)[* [[팩토리얼]]을 [[감마 함수]]로 정의역을 확장한 것이 그 예.] * [[타원]], [[포물선]] 등→[[이차곡선]]([math((x/a)^2+(y/b)^2=1, y^2=4px→ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0)]) * 일변수스칼라함수(입력: 스칼라, 출력: 스칼라) → 일변수벡터함수 및 다변수스칼라함수→ 다변수벡터함수(입력: 벡터, 출력: 벡터) * [[일차함수]] → [[다중선형형식]] * [[이차함수]] → 이차형식 * [[삼차함수]] → 삼차형식 * 미적분의 [[유율법]], 일명 "사라진 값들의 유령" → [[엡실론-델타 논법]] → [[미분형식]] * 벡터 → 벡터공간의 원소 * dot product로서의 유클리드 공간 내적 → [[에르미트 내적]] → 일정한 조건을 만족하게끔 잘 정의된 연산 * 5대 공준 하에 연구되는 [[유클리드 기하학]] → 제5공준(일명 평행선 공준)을 ~~[[배째]]~~ 배제한 [[비유클리드 기하학]]의 성립 * [[정다각형]] → [[정다면체]] → [[정다포체]] (2차원→3차원→n차원)[* 예를 들면 [[정삼각형]] → [[정사면체]] → [[정오포체]] → n-[[단체(기하학)|단체]]] * [[그린 정리]]→켈빈-스토크스 정리→[[스토크스 정리]] (2차원→3차원→n차원) * [[복소해석학]]을 이용한 [[해석적 연속|해석적 확장]]; [[제타 함수]] → [[리만 제타 함수]] * 개집합 → [[위상공간]] * 길이, 넓이, 부피 → [[측도]] * 확률 → 확률공간 * 함수 → 사상 → [[범주론]] * [[수열]] → 다변수 수열 * '''그 외 수많은 수학 연구''' 수학에서 [[추상화]]의 정도가 심해질수록 [[상식]]과는 동떨어진 분류법을 만드는 경우가 많은데, [[위상수학]]에서 머그컵과 도넛을 같은 분류로 바라보거나, [[대수학]]에서 [[정수]]와 [[다항식]]을 같은 분류로 바라보는 등 일반화가 논리적이지만 직관을 벗어나는 수준까지 이르는 경우가 많다. 이에 대해 현실성이 없는 설정놀음으로 전락하고 있다는 불만을 품는 수학자(특히 응용수학 전문가)들이 있는가 하면, 보다 엄밀하고 [[잘 정의됨|잘 정의된]] 사고방식을 통해 보다 큰 성과를 얻어낼 수 있다며 극찬하는 (주로 순수)수학자들도 있다. 이를 상징하는 유명한 키배(?)가 있었으니, 전자의 편이었던 [[블라디미르 아르놀트]]와 후자의 편이었던 [[장피에르 세르]]가 벌인 아르놀트-세르 논쟁이다. 한편, 수학의 이러한 사고방식은 윗단락에서 '''[[사회생활]]에서는 절대 삼가야 한다고 신신당부한''' 형태의 일반화이기도 하다. 대학에서 [[수학과]]에 처음 들어온 학생들이 고생하다 하나둘 수학을 그만두는 진입장벽으로 이런 사고방식의 반복훈련과정이 지목될 정도이다. 이러한 수학 특유의 사고방식을 고치기 힘들어[* 예를 들어 응용수학 전공자들이 [[학제간 연구]]를 진행하느라 다른 분야의 대학원으로 가면 왜 그렇게 야바위꾼처럼 계산하는지 모르겠다는 첫인상을 받기도 한다. 그러나 반대로 순수수학 전공자들은 응용수학 전공자들을 정파를 벗어난 수학의 사파인듯이 바라보기도 하고, 공학도들은 응용수학도의 엄밀한 분석을 지나치게 이론적이라 현실성도 실용성도 없다 여기기도 한다. ~~다들 대화가 통하질 않는다~~ ] 학계 밖에서의 다른 연구나 일상생활에서 어려움을 겪는 이들도 적지 않다. 진입장벽이 수학계의 수학자들에겐 탈출장벽으로 기능하는 셈이다. 비전문가들이 그려내는 대중문화 속 '사람들과 불화를 겪다 속세를 떠나 은둔한 외로운 천재 수학자'류의 [[클리셰]]를 굳이 현실의 수학자들에게 비춰보고자 한다면, 숫자나 계산 따위보다는 이 수학 특유의 사고방식을 감안하고 바라보는 편이 현실에 더 부합할 수 있다. 수학자들도 이런 사고방식이 사회와 충돌하는 숙명을 이해하기 때문에 사회생활을 포기하지 않는 한 이런 사고방식을 무작정 고집하지는 않는다. ~~그냥 사회생활을 포기하는 수학자가 없다곤 안했다~~저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기