문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 원주율 (문단 편집) == 개요 == '''원주율'''([[圓]][[周]][[率]]), '''파이'''([math(\pi)], pi)는 [[원(도형)|원]]의 [[지름]]에 대한 [[원주(동음이의어)#圓周|원주]](원둘레)의 [[비율]]을 뜻하며, 그 값은 약 3.14[* 3.1415926535897932384626433... 로 이어지는 무한소수이다. [[https://stuff.mit.edu/afs/sipb/contrib/pi/pi-billion.txt|원주율의 10억 자리 (954MB 파일이니 렉 주의)]]]이다.[* 사족으로, 루트 10의 값이 3.162277660...으로, 원주율보다 근소하게 더 크다. 즉, 파이의 제곱은 약 9.896044... 로, 10보다 작다. 작은 분모의 근삿값은 [math(\dfrac{22}{7})], 큰 건 [math(\dfrac{100000}{31831})] 역시나 제시된다.] 원주율을 알고 있다면 원의 둘레의 길이를 구하기 위해 힘들게 줄자를 사용할 필요가 없다. 지름의 길이를 구해서 지름의 길이에 원주율을 곱하면 되기 때문이다. 같은 원리로 원주율은 수학, 과학 및 공학의 여러 분야에서 계산을 편리하게 하기 위한 도구로 쓰인다. 보통 지름보다는 [[반지름]]을 더 많이 사용하므로 반지름의 2배에 원주율을 곱해서 계산한다고 표현([math(2\pi r)])하기도 한다. 예를 들어 지름이 [math(1\,\rm cm)]인 원의 둘레의 길이는 [math(3.1415\cdots\cdots\,\rm cm)]이고, 지름이 [math(2\,\rm cm)]인 원의 둘레의 길이는 [math(6.2831\cdots\cdots\,\rm cm)]이다. [[그리스 문자]] [math(\pi)]로 표시하는데, 한국 발음으로는 [[파이]][* 영어식으로 발음했을 때나 '파이'이지, 원어인 그리스어 발음으로는 '삐'([[외래어 표기법]]으로는 '피')다. 그러나 그리스 문자 가운데 [[한글로 표기할 수 없는 발음|한국어 기준으로 같은 표기]]인 글자([[Φ|φ]])가 따로 있기 때문에 유의해야 한다.]이며, 그리스어로 '둘레'를 뜻하는 페리메트로스(περίμετρος)의 첫 글자 π에서 땄다고 한다(원주율을 시각화하면 왜 둘레인지 알 수 있다[[https://www.youtube.com/watch?v=RLYYTIR-TFk|설명영상]]) 최초로 원주율을 [math(\pi)]로 표기한 사람은 [[웨일스]]의 수학자 윌리엄 존스로[* [[인도유럽어족]] 연구의 시초가 된 그 [[윌리엄 존스]]의 아버지다.], 자신의 저서에 [math(\pi)]를 사용하였다. 이후 [[레온하르트 오일러]]에 의해 대중화되었다. 원주율은 순환하지 않는 무한소수인 [[무리수]]이자[* 중2 수학 문제 중에서는 보기에 [math(\pi)]를 적어놓은 후 '다음 중 순환하지 않는 무한소수를 적으시오' 라는 문제가 단골이다.] [[초월수]]이다. 즉 단순한 3도, 3.14도, 3.1414...나 3.1444... 같은 유리수도, 3.141 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13... 또는 3.14 15 16 17 18 19 20...같은 [[진법]] 등의 조건상 규칙이 있는 무리수도 아니라는 것이다[* 다만 이렇게 진법으로 뒀을 때 규칙이 보이는 수도 얼마든지 무리수가 될 수 있다. 실제로 '''최초로 증명된''' 초월수는 [[초월수#리우빌 상수|리우빌 상수]]라는 것으로, 이런 식으로 진법상에서의 규칙성을 주되, 실제로는 반복되는 일이 없는 무한소수로 구성된다. 그 외에도 챔퍼나운 상수가 정확하게 이런 형태.]. 물론 좀 가다 보면 [[파인만 포인트]]가 나오기는 하지만 일시적일 뿐이다. 원주율이 무리수라는 것은 고등학교 수준으로도 충분히 이해 가능한 증명이 있다. 그러나 [[소수(수론)]]처럼 원주율의 수열이 완전한 무작위성을 보이는지는 증명되지 않았다. * 무리수 증명 * [[https://youtu.be/5ZObYcH0Xgg|람베르트 증명]] * [[http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_that_%CF%80_is_irrational#Niven.27s_proof|니벤의 증명]] * [[https://drive.google.com/file/d/1SoiCl_j4AVgMOWJ32LOb92_XQ2yvbEOq/view|니벤의 논문]][* 딱 한 장이다.] * 증명의 아이디어 자체는 간단하다. 귀류법을 이용하여 [math(\pi=\dfrac pq)]라는 유리수라고 가정한 뒤, [math(f(x)=\dfrac{x^n(p-qx)^n}{n!})]이라는 함수와 이 함수로부터 유도된 [math(\displaystyle F(x) = \sum_{k=0}^n (-1)^k f^{(2k)}(x))]를 이용하여 모순을 유도하는 것. [math(F(0)+F(\pi))]를 계산해보면 정수가 나와야 하며, 이 값은 [math(\displaystyle \int_0^\pi f(x) \sin x {\rm d}x)]가 되는데, 두 함수 [math(f(x))]와 [math(\sin x)]가 0 이상인 구간 [math((0,\pi))]에서 곱해진 것을 적분한 것이므로 [math(\displaystyle 0 < \int_0^\pi f(x) \sin x {\rm d}x \leq )][[유계#상한과 하한|[math(\,\,\sup)]]][math(\,f(x) \times \sup{\sin x}\times \pi)]라는 관계식이 성립하게 된다. 그런데 이 관계식의 '''가장 우측항'''은 [math(n\to\infty)]의 극한을 취하면 0으로 수렴, 즉 1보다 작게 된다는 걸 보일 수 있는데, [math(0)]보다 크면서 1보다 작은 '''정수는 없다'''. 따라서 [math(\pi=\dfrac pq)]라고 가정한 전제가 틀렸으므로 [math(\pi)]는 무리수다. * 초월수 증명 * [[https://en.wikipedia.org/wiki/Lindemann%E2%80%93Weierstrass_theorem|린데만-바이어슈트라스 정리를 이용한 증명]][* 린데만-바이어슈트라스 정리는 유리수체 위에서 0이 아닌 서로 선형독립적인 유한 개의 대수적 수 [math(\{\beta_k\})]에 대해서 역시 같은 수의 대수적 수의 쌍 [math(\{\alpha_k\})]가 존재하여, 대응되는 두 수를 곱한 수 [math(\alpha_k\beta_k)]의 합이 0이 아니라면 [math(\alpha_k e^{\beta_k})]의 합 역시 0이 아니라는 정리다. 즉, 유리수체 위의 선형독립적인 원소들로 구성된 집합은, [math(e)]의 거듭제곱 꼴로 바꾸더라도 선형독립적인 원소들로 이루어져 있다는 정리. 또한 여기서 따름정리로 [math(e^a)]에서 [math(a)]가 0이 아닌 대수적인 수라면 [math(e^a)]는 초월수라는 것 역시 알려져 있다.] * 초월수 증명 자체는 간단하다. 귀류법을 사용하는데, 먼저 [math(\pi)]가 대수적인 수라고 가정하자. 그러면 [math(i\pi)] 역시 0이 아닌 대수적인 수다. 그러면 린데만-바이어슈트라스 정리에 따라 [math(e^{i\pi})]는 초월수여야 한다. 하지만 [[오일러 등식]]에 따라 [math(e^{i\pi})]는 대수적 수인 [math(-1)]이다. 이는 모순이므로, 따라서 [math(\pi)]가 대수적인 수라고 가정한 전제가 틀렸다는게 된다. 따라서 [math(\pi)]는 초월수다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기