문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 원(도형) (문단 편집) === 둘레 === 원의 지름의 길이에 대한 원의 둘레의 길이의 비를 [math(\pi)]라 정의한다.[* 경험적으로 고대부터 원의 지름과 원주의 비는 일정함을 알고 있었다.] 이때 반지름의 길이가 [math(r)]인 원의 둘레는 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(l=2\pi r)][* 여기서 [[단위원|[math(r=1)]인 경우]], [math(l)]은 [[호도법|중심각과 동치가 된다]].]}}} 위 식을 미적분학으로 증명해 보자. 일단 모든 원에서 반지름의 길이와 원주(원의 둘레)의 길이의 비는 일정하다는 것부터 보이자. 중심이 원점이고 반지름의 길이가 [math(r)]인 원의 방정식은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(x^2+y^2=r^2)]}}} 으로 나타낼 수 있고, [math(y\ge0)] 영역의 곡선의 길이는 원주의 길이의 1/2배이므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(y=\sqrt{r^2-x^2})]}}} 이다. 이때, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x} = -\dfrac x{\sqrt{r^2-x^2}})]}}} 이므로 길이 적분에 의해 원주의 길이 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} l &= 2 \int^r_{-r} \sqrt{1+{\left(\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}\right)}^2}\,{\rm d}x \\ &= 2 \int^r_{-r} \frac r{\sqrt{r^2-x^2}}\,{\rm d}x \\ &= 2r\int^1_{-1} \frac1{\sqrt{1-t^2}}\,{\rm d}t \quad \left(t =\frac xr\right) \end{aligned})]}}} 정적분의 값은 수렴하며 따라서 모든 원의 원주의 길이는 반지름의 길이인 [math(r)]의 상수배로 표현되는 것을 알 수 있다. 따라서 반지름의 길이와 원주의 길이의 반의 비례상수인 오른쪽 식의 적분값을 원주율로 정의하자. 즉, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \pi = \int^1_{-1} \frac1{\sqrt{1-t^2}}\,{\rm d}t)]}}} 이로써 원주율의 값을 표현하는 정적분을 구했다. 정적분의 구체적인 계산 방법은 [[원주율#계산법]] 문서 참고.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기