문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 완전수 (문단 편집) ==== Abundance ==== 일반적으로 진약수의 합에서 자기 자신을 뺀 수를 abundance라고 한다.[* 우리말로 할 경우 과잉값 혹은 과잉도 정도로 번역될 수 있다. --어번던수--] 즉, 주어진 자연수 [math(n)]에 대한 abundance [math(a(n))][* 공식 표기는 아니다.]은, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(a(n)=s(n)-n=\sigma_1(n)-2n)]}}} 이다. 즉, * [math(a(n)>0)]이면 [math(n)]은 과잉수 * [math(a(n)=0)]이면 [math(n)]은 완전수 * [math(a(n)<0)]이면 [math(n)]은 부족수 * [math(a(n)=1)]이면 [math(n)]은 준완전수 * [math(a(n)=-1)]이면 [math(n)]은 태완전수 가 된다. 주어진 [math(n)]에 대해 [math(k=a(n))]을 만족하는 [math(k)]를 구하는 것은 유한한 시간 내에 반드시 가능하지만, 이 함수의 역함수, 즉 주어진 [math(k)]에 대해 [math(k=a(n))]을 만족하는 [math(n)]을 구하는 것은 가능할지 알 수 없는 때가 많다. 홀수 완전수나 준완전수 등의 존재성 문제를 일반화한다는 것은 결국 이 역함수의 특성을 해명하는 것으로 이해할 수 있다. 아래는 [math(a(n))]과 [math(a^{-1}(k)=\{n|a(n)=k\})]의 알려진 특성들이다. * [math(a^{-1}(k))]이 정확히 규명된 [math(k)]는 단 하나도 없다. * [math(k=-1)][* [math(a^{-1}(-1)\supset\{2^n|n\geq 0\})]] 혹은 [math(n)]이 완전수인 경우 [math(k=2n)][* [math(a^{-1}(2n)\supset\{pn\})], [math(p)]는 [math(n)]의 약수가 아닌 소수.] 일 때 [math(a^{-1}(k))]의 크기는 무한이나, 이 외 수에 대한 함수 집합의 크기는 알려지지 않았다.[* 즉 [math(a^{-1}(k))]의 원소가 존재하지 않는다고 확인된 [math(k)]는 없다. 또한 모든 짝수 [math(k)]에 대해서도 [math(k=a(n))]을 만족하는 [math(n)]이 있는지는 알려지지 않았다. 이를 흔히 강한 골드바흐 추측(8 이상의 모든 짝수는 '''서로 다른''' 두 소수의 합으로 표현된다는, 볼드체 부분이 없는 원래 골드바흐 추측보다 조금 더 강한 조건의 추측. 당연하지만 아직 증명되지 않았다.)과 연결된 문제라고 착각하는데, 해당 문제는 진약수의 합의 값의 존재성에 관련된 것이며, 이 문제와는 다르다. [[불가촉 수]] 문서 참고.] * [math(k)]가 홀수일 때 [math(a^{-1}(k))]의 원소가 더 드물게 존재한다.[* [math(a(n))]이 홀수가 되기 위해서는 [math(n)]이 제곱수이거나 제곱수와 2의 곱이어야 한다. 그러나 2의 제곱수의 진약수의 합은 항상 자기 자신보다 1 작으므로, abundance가 -1이 아닌 홀수인 수는 반드시 3이상의 홀수의 제곱을 인수로 가져야 하고, 자연수 전체에서 그러한 수의 비율은 매우 낮기 때문이다. 1 이외에도 [math(a^{-1}(k))]의 원소가 발견되지 않은 홀수들은 상당히 많으며, 단 하나만 있는 것처럼 보이는 수들이 또한 나머지 중 거의 대부분을 차지한다. 예컨대 [math(a^{-1}(3))]은 18 외에는 알려져 있지 않다. -100~100 사이의 100개 홀수 중에서 해당 값을 abundance로 가지는 자연수 [math(n)]의 개수가 0인 수(즉, 해당 값을 만족하는 알려진 [math(n)]이 없는 수)가 무려 75개, 1개뿐인 수가 22개, 2개인 수가 2개 뿐이다. 유일한 예외는 상술했다시피 모든 2의 제곱수가 해당하는 -1.] * [math(a^{-1}(k))]의 원소의 존재가 알려지지 않은 절대값이 가장 큰 짝수는 [math(k=1870)]이고, 홀수는 [math(k=1)]이다. * [math(n)]이 과잉수라면 [math(n)]과 서로소인 임의의 소수 [math(p)]에 대하여 [math(a(pn)=pa(n)+\sigma_1(n))]이다. * [math(n)]이 부족수라면 소수 [math(p>\frac{\sigma_1(n)}{-a(n)})]에 대하여 [math(pn)]이 부족수이다. * 주어진 홀수 [math(n)]에 대해 [math(2^k-n)]이 소수인 경우 [math(a(2^{k-1}(2^k-n))=n-1)]이다. [* 즉 그러한 [math(k)]가 존재할 경우, abundance가 [math(n-1)]이 되는 수가 존재한다고 할 수 있으며, 실제 짝수에서 발견되는 대다수의 원소가 이러한 형태로 표현된다. [math(n)]이 1인 경우가 완전수 케이스. [math(n)]은 홀수여야 하므로, 이 성질을 이용해 대부분의 짝수 케이스는 찾을 수 있다. 문제는 그러한 [math(k)]가 없는 [math(n)]이 종종 있다는 것과, 그 역은 성립하지 않는다는 것. 예컨대 언급한 1870의 경우, [math(2^k-1871)]이 소수가 되는 [math(k)]가 존재하지 않는다는 것이 확인되었다. 물론 그렇다고 해서 abundance가 1870인 수는 존재하지 않는다고 할 수는 없다.]저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기