문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 연립방정식 (문단 편집) ==== 미지수가 2개인 연립일차방정식(이원일차연립방정식) ==== [math(\begin{cases}ax+by=p\\cx+dy=q\end{cases})] 위의 꼴로 정리되는 방정식을 뜻한다. 중학교 2학년 때 배우며, 일차함수, 직선의 방정식하고도 연결된다. [* 단, a, b, c, d는 수, !=0] 선형 연립 방정식이라고도 한다. 선형을 수식의 형태로 나타내면 일차가 되므로 같은 말이다. [[선형대수학]]에서는 [[벡터 공간]]에서 [[벡터 공간]]으로 가는 함수[* 이를 [[선형사상]]이라고 한다]로써 다루게 된다. 역사적으로 본다면 [[행렬]]은 '연립 일차 방정식의 풀이를 어떻게 하면 될까'라는 고민을 한데서 시작했다. 아서 케일리가 연구하던 중에 [math( ad - bc )] 의 값에 따라 연립 방정식의 해가 다르게 나오는 것을 보고 얘네가 해를 판별한다는 관점에서 determinant라고 부른데서 [[행렬식]]이 탄생했고, [[윌리엄 로원 해밀턴]]이 '야, 그러면 연립 방정식의 계수랑 변수를 따로 떼어내서 쓰면 어떨까?'라는 생각에서 행렬이 탄생했다(그래서 역사적으로 따지고 보면 행렬식이 먼저 나오고 행렬은 나중에 나온 것이다). 연립 방정식의 풀이는 크게 두가지 관점으로 나뉘는데, '해가 존재 하는가? 존재하지 않는가?'라는 관점이 있고, '해가 존재하는가? 그러면 한 쌍만 나오는가? 아니면 여러개 나오는가?'라는 관점이 있다. 연립방정식 중에서 가장 만만한 녀석이므로 해법이 다양한 편이다. * 대입법: 연립방정식의 한 식을 한 문자에 관해서 푼 후 [[치환#s-2.1|다른 식에 대입]]해서 푼다. * 가감법: 위 식에서 [math( (a - c)x + (b - d)y = (p - q) )] 꼴로 변환한다. 이 때 [math( a - c = 0 )] 또는 [math( b - d = 0 )] 이면 쉽게 풀 수 있다. 둘 다 0이 아니면 한 식의 양변의 일정한 실수를 곱해서 한 쪽을 0으로 만들어야 한다.[* 이를 [[기본행연산]]이라고 한다.] * [[행사다리꼴#s-6|가우스 소거법]]: 위의 가감법을 행렬에 기반한 기계적인 알고리즘으로 바꾼 것. 가감법이랑 기본 원리는 같으며, 미지수가 3개 이상이 되어도 계산 순서가 바뀌지 않아 [[프로그래밍]]에 유리하다는 장점이 있다. * [[함수]]로 변형: 두 식을 [math( y = ax + b )] 꼴로 변형한다. 여기서 공통되는 유일한 y 값을 구하고 x 값을 구한다. 하지만 유일한 y 값이 없다면 [[답이 없다]]. 정확히는 [[부정|해가 무수히 많거나]](두 함수의 그래프가 일치), [[불능|아예 없거나]](두 함수의 그래프가 평행 혹은 만나지 않음). 아니면 식 하나를 똑같이 [math( y = ax + b )] 꼴로 변형하고 다른 식의 y를 저걸로 [[치환]]해 버리든가.[* 그런데 이 때 [math( nxy )] 꼴의 항이 있으면 이차방정식이 돼서 풀기가 더 어려워진다(...). 항을 잘 보고 판단하자.] * 역[[행렬(수학)|행렬]] 사용: [math(\begin{pmatrix}a \quad b\\c \quad d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix})] 꼴로 바꿔서 역행렬을 구한다.[* 이 때 가우스 소거법을 쓸 수 있다.] * 크래머 공식 [math(x=\displaystyle\frac{{\begin{vmatrix} p & b\\ q & d \end{vmatrix}}}{{\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}}}=\frac{pd-bq}{ad-bc})], [math(y=\displaystyle\frac{{\begin{vmatrix} a & p\\ c & q \end{vmatrix}}}{{\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}}}=\frac{aq-pc}{ad-bc})] * 미지수가 2개라면 간단한 근의 공식이 생긴다. [math(\begin{cases} ax+by=p \\ cx+dy=q \end{cases})]가 주어졌을 때 * 위쪽 식을 이항해서 정리하면 [math(\displaystyle x=\frac{p-by}{a})] * 이 식을 아래 식 [math(cx+dy=q)]에 넣고 [math(y)]에 대해서 풀면 [math(\displaystyle y=\frac{aq-cp}{ad-bc})]가 된다. * 여기서 [math(x)]를 구하는 식에 [math(y)]의 값을 넣어서 풀면 [math(\displaystyle x=\frac{dp-bq}{ad-bc})]가 된다. * 이 근의 공식을 행렬로 표현하면 위에서 말한 '역행렬'과 동치가 된다: [math(\dfrac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p \\ q \end{bmatrix})] * [[예상과 확인]]: 그냥 [[시행착오법]]이다. 일일이 아무거나 넣어보는(...) 방식으로서, 그다지 수학적인 방법은 아니지만 연립일차방정식의 대수적인 해법을 배우기 이전인 초등학교 때 이렇게 풀도록 교육한다. [[예상과 확인]] 참고. * 고1 수학 나머지정리 때도 쓰이며 이차함수 풀 때도 쓰이는 녀석이다. * 비교법[* 엄밀한 명칭은 등치법이다.]: 두 방정식의 [math(x)] 혹은 [math(y)]가 같다는 점을 이용해, 좌/우변에 부호가 같고, 계수가 같은 항을 모아서 미지수가 하나만 있는 방정식을 만든다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기