문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 소수(수론) (문단 편집) == 성질 및 미해결 문제 == [[쌍둥이 소수]]는 p, p+2 모두 소수가 되는 순서쌍이다. [[사촌 소수]]는 차가 4, [[섹시 소수]]는 차가 6이 되는 소수 순서쌍이다. [[2]]는 유일한 짝수 소수이다. 즉, 2를 제외한 모든 짝수는 합성수이며, 2를 제외한 소수는 모두 [[홀수]]이다. 사실 개요문단의 정의는 prime이 아닌 irreducible에 대한 정의이다. 소수(prime)의 실제 정의는 임의의 정수 a, b에 대해 p|ab이면 p|a or p|b를 만족할 때 p를 prime이라고 한다. 정수 집합에서는 이 정의가 같아서 상관없지만, 대수적 정수론에서는 irreducible이지만 prime이 아닌 경우가 존재한다.[* 이는 환에서 소 아이디얼을 배우면 어떤 느낌인지 알 것이다.] 소수가 아니고 곱셈의 역수가 없는 수를 [[합성수]](composite number)라고 한다. 쉽게 이해하기 위해 소수를 '[[약수(수학)|약수]]가 2개인 수'로 정의하기도 한다. 참고로 1은 1과 자기 자신(1)으로만 나눠떨어지긴 하지만, 곱셈의 역수가 있는 1을 소수로 인정하면 [[소인수분해]]의 유일성이 사라지는 등의 문제로 인해 1은 소수가 아닌 것으로 약속했다. '''따라서 1은 자연수이지만 소수도 아니고 합성수도 아니다.'''[* 이는 소 아이디얼 역시 진 아이디얼(환 자기자신 제외)에서 다루는 것과 비슷하다.] 비슷하게 일반적인 1을 갖는 가환환 위에서도 곱셈의 역수를 가지는 원소는 소수도 합성수도 아닌 것으로 약속한다. 참고로 유리수와 같이 [[체(대수학)|0 말고 모두 곱셈의 역수를 가지고 있는]] 경우는 모든 원소가 irreducible도 prime도 아니다. 이 두 개념은 0도 아니고 단위원[* 곱셈의 역수를 가진 원소]도 아닌 원소에 대해서만 정의되기 때문이다. 집합 기호로는 볼드체를 사용한 [math(\bold P)]나 칠판체를 사용한 [math(\mathbb P)]로 나타낸다. 기본적으로 모든 사칙연산에 대해 닫혀 있지 않다.[* 단, 2가 들어 있다면 매우 가끔 아래의 첫 번째 [[등식]]이 성립한다. 예를 들어, [math(2+3=5 \in \mathbb{P})]이다. 물론, 2가 들어 있더라도 항상은 아니다. [math(2+7=9 \notin \mathbb{P})]. 이 등식을 성립하게 만드는 소수들이 바로 그 유명한 [[쌍둥이 소수]].] * [math(3+5=8 \notin \mathbb{P})] * [math(11-17=-6 \notin \mathbb{P})] * [math(2 \times 7 =14 \notin \mathbb{P})] * [math(29 \div 31 = \dfrac{29}{31} \notin \mathbb{P})] 후술할 소수 나열에선 알기 힘들지만 수가 커질수록 소수의 빈도는 점점 감소하며, 소수가 없는 아주 긴 구간들의 출현 빈도들이 높아진다. 이렇게 되면 계속 가다가 소수가 없는 구간의 길이가 1000조를 넘는다든가 심지어 언젠가는 아예 '''[[그레이엄 수|G(64)]]를 넘을 수 있다.[* 이것을 증명하는 과정은 자연수의 무한성 증명보다는 약간 어렵지만 그래도 무려 소수의 무한성 증명보다도 훨씬 쉽다. 임의의 자연수 n에 대해서 (n+1)!+2, (n+1)!+3, (n+1)!+4, ..., (n+1)!+(n+1)은 모두 소수가 아니므로 소수가 없는 구간이 최소 n이 되도록 하는 소수 사막을 찾을 수 있다. 소수가 무한히 있는 만큼 무한히 길거나 유한하지만 모든 [[소수 사막]] 중에서 가장 긴 [[소수 사막]]은 없다.]''' 이쯤 되면 결국 나중엔 소수가 절대 나오지 않게 되는 게 아닌가 하는 추측도 나올 수 있겠지만, [[유클리드]]에 의해 '''소수는 무한히 많이 있다'''는 것이 증명되었다.[* 게다가 [[원주율]]처럼 '''그 어떤 규칙도 발견되지 않았다.''' 그리고 짝수라도 수가 크다고 해서 무조건 약수가 많은 게 아니듯 아주 큰 수에서도 연속으로 2번 이상의 소수가 발견될 수도 있다. 그리고 한 가지 더 보태자면, P(n)의 값은 1부터 n까지의 수들 가운데에 해당되는 소수의 개수라고 할 때, 함수의 결과값 상승률이 거의 0에 수렴하므로 n의 값이 많이 커져야 할 필요가 있다.] [[오일러]]는 소수의 역수의 합이 발산한다는, 좀 더 강력한 정리를 증명하였다.[* <제타 함수의 비밀>(구로카와 노부시게 지음)이라는 책에 이 증명이 나와 있다.] 더 나아가 2 이상의 자연수 [math(n)]에 대해 [math(n저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기