문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 삼각함수 (문단 편집) === [[해석학]]: [[무한급수]]로 정의 === [include(틀:다른 뜻1, other1='무한급수', rd1=급수(수학), paragraph1=3, other2='비율 판정법', rd2=급수(수학), paragraph2=3.6, other3=사인함수와 코사인함수 이외의 다른 삼각함수에 대한 테일러 급수, rd3=테일러 급수/목록, paragraph3=4.2)] [[무한급수]]를 활용하여 삼각함수를 다음과 같이 [[테일러 급수]]로도 정의할 수 있다. 이 방법은 [[해석기하학]]에 의존하지 않으며 복소수나 정사각행렬 등으로도 확장할 수 있다. 이렇게 정의하면 원주율 [math(\pi)]는 코사인 함수의 근 중 가장 작은 양수의 2배로 정의된다. 기하학적으로 [math(\cos{(\pi/2)}=0)]을 반대로 접근하는 것인 셈. 그러면 단위원의 넓이는 [math(\pi)]이고 원주는 [math(2\pi)]가 되는데, 당연하겠지만 기존 기하학의 결과와 완전히 일치한다. 삼각함수를 기하학적으로 정의하면 삼각함수의 미적분에서 [math(\displaystyle \lim_{x\to0}\{(\sin x)/x\} = 1)]임을 증명하는 과정에서 기하학적인 원넓이의 공식을 이용하기 때문에 순환논리에 빠지지만(아래 [[삼각함수#특수한 극한값을 갖는 합성함수|특수한 극한값을 갖는 합성함수]] 문서 참고.), 무한급수로 삼각함수를 정의하면 이 순환논리를 피할 수 있다. ||<:> [math(\displaystyle \begin{aligned} \sin x &=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}\\&= x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!}+\cdots \\ \cos x &=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}\\ &= 1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\dfrac{x^6}{6!}+\cdots \end{aligned} )] || {{{#!folding [비율판정법으로 수렴·발산 여부 확인하기] ------ 수열 [math(\{a_n\})]을 다음과 같이 가정하자. ||<:> [math(a_n := \dfrac{x^n}{n!})] || 그러면 이 수열에 관한 [math(\sin x)], [math(\cos x)]의 식을 다음과 같이 나타낼 수 있다. ||<:> [math(\begin{aligned} \displaystyle \sin x &= x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots = \sum_{k=0}^\infty \left(-1\right)^{k}a_{2k+1} \\ \cos x &= 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots = \sum_{k=0}^\infty \left(-1\right)^ka_{2k}\end{aligned})] || 각 급수의 일반항의 비율은 ||<:> [math(\begin{aligned} \sin x &: -\dfrac{a_{2k+3}}{a_{2k+1}} \\ \cos x &: -\dfrac{a_{2k+2}}{a_{2k}} \end{aligned})] || 이며, 이들의 [[절댓값]]의 [[극한]]을 한꺼번에 구하기 위해 아래와 같이 일반화할 수 있다: ||<:> [math(-\dfrac{a_{k+2}}{a_k} = -\dfrac{\dfrac{x^{k+2}}{\left(k+2\right)!}}{\dfrac{x^k}{k!}}=-\dfrac{x^2}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)})] || 이때 [math(x)]가 고정되어 있으므로 다음이 성립한다. ||<:> [math(\displaystyle \lim_{k\to\infty}\frac{x^2}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}=0)]|| 비율판정법의 따름정리에 의하여 위에서 나타낸 식 ||<:> [math(\begin{cases}\displaystyle\sin x = \sum_{k=0}^\infty \left(-1\right)^{k}a_{2k+1} = \sum_{k=0}^\infty \frac{\left(-1\right)^{k}x^{2k+1}}{(2k+1)!} \\ \displaystyle \cos x = \sum_{k=0}^\infty \left(-1\right)^ka_{2k} = \sum_{k=0}^\infty \frac{\left(-1\right)^{k}x^{2k}}{(2k)!}\end{cases})]|| 이 성립하며, 어떤 실수 [math(x)]값을 대입하더라도 반드시 수렴한다. 또한 이 급수의 수열은 절대 수렴하는 수열이기 때문에 복소수를 대입하더라도 마찬가지로 정의에 따라 절대적으로 수렴함이 확인된다.[* 절대수렴하는 수열합에 한해서는 수열의 배치를 바꾸더라도 수열합은 변하지 않는다. 이를 이용하여 복소수의 거듭제곱의 실수부와 허수부의 위치를 재조정해서 실수부와 허수부가 한 값으로 수렴함을 보일 수 있다. 다만 이는 절대수렴하지 않는 수열합에 대해서는 성립하지 않는 성질이다. 예를 들어서 [math(a_n={(-1)^n}/n)]이라고 하면, 이 수열은 수렴하지만 절대수렴하지 않는데, 이 경우 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty a_n)]의 순서를 재조정하면 원래 값의 2배, 3배 이상을 만드는 것도 가능하다. 하지만 절대수렴하는 수열인 [math(b_n=2^{-n})]의 경우, 이 수열은 순서를 어떻게 재조정하더라도 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty b_n=1)]이 보장된다.] ------- }}} 다른 삼각함수에 대한 무한급수는 다음과 같다. [math(B_n)]은 [[베르누이 수열]], [math(E_n)]은 [[오일러 수열]]이다. ||<:> [math(\begin{aligned} \displaystyle \tan{x} &= \sum_{n=1}^\infty \frac{ \left\{ \left( -4 \right)^n - \left( -16 \right)^n \right\}B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1} \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac {8x}{(2n+1)^2{\pi}^2-4x^2} \\ \sec{x} &= \sum_{n=0}^\infty \frac{ \left( -1 \right)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n} \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac {(-1)^n(2n+1){\pi}}{\left(n+ \dfrac {1}{2}\right)^{\! 2}\!\!{\pi}^2-x^2} \\ \csc{x} &= \sum_{n=0}^\infty \frac{ \left\{ 2 \left( -1 \right)^n - \left( -4 \right)^n \right\}B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1} \\ &= \dfrac {1}{x} + 2x \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac {(-1)^n}{x^2-(n{\pi})^2} \\ \cot{x} &= \sum_{n=0}^\infty \frac{ \left( -4 \right)^n B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1} \\ &= \dfrac {1}{x} + 2x \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac {1}{x^2 -(k{\pi})^2}\end{aligned})] || 자세한 내용은 [[미타그레플레르 정리]] 문서를 참고하자.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기