문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 삼각함수 (문단 편집) == 도량형학 관점에서 바라본 정의역의 고찰 == [[물리량]] 문서에 명시되어있듯 (물리량)[math(=)](수치)[math(\times)](단위)의 관계에 있다. 어떤 물리량을 갖고 계산을 할 때 단위는 수치에 곱해져서 따라다닐 뿐 수치에 영향을 미치지 않기 때문에 수학에서는 물리량에서 단위를 뗀 수치에 주목해서 다루지만, 단위까지 포함된 물리량으로서 다뤄야하는 도량형학(좀 더 넓은 범주로는 물리학)의 관점에서는 수치만 놓고 다룰 수 없다. 1회전이 육십분법에서는 [math(360\degree)]이고, 그레이드 단위에서는 [math(400^{\rm g})]이고 호도법에서는 [math(2\pi{\rm\,rad})][* [[국제단위계]]에서도 각도의 표준 단위는 [[라디안|[math(\rm rad)]]]이라 규정한다. 따라서 본 문단은 '호도법의 각도는 [math(\rm rad)]으로 반드시 표기해야한다'라는 점을 염두에 두고 읽자.]으로 1회전의 기준이 각각 다르게 정의되어 식의 계수가 변하기 때문이다. 온도에 관한 환산 공식을 쓸 때, 가령 [[섭씨온도]] → [[화씨온도]] 혹은 [[절대온도]] → [[화씨온도]]로 환산하는 경우 ||<:> [math(\begin{aligned}\dfrac{T_{\rm\degree\!F}}{\rm\degree\!F} &= \dfrac95\dfrac{T_{\rm\degree\!C}}{\rm\degree\!C} + 32 \\ &= \dfrac95\dfrac{T_{\rm K}}{\rm K}-459.67 \end{aligned})] || 위와 같이 [[차원(물리량)|차원]]은 물론 단위까지 고려한 방정식으로 나타내야한다는 원칙[* 위와 같은 표기법은 국제도량형국(BIPM)에서 가장 최근에 발행한 [[https://www.bipm.org/documents/20126/41483022/SI-Brochure-9.pdf/fcf090b2-04e6-88cc-1149-c3e029ad8232|SI 책자 제9판]]의 133페이지에서도 확인할 수 있다.]에 따라, 각도에 관한 물리량을 정의역으로 갖는 삼각함수 역시 도량형학 관점에서는 단위 관계가 같이 고려되어야 한다. 가령 널리 알려진 [math(\sin\theta)]의 미분 공식 ||<:> [math(\dfrac{{\rm d}(\sin\theta)}{{\rm d}\theta} = \cos\theta)] || 을 잘 살펴보면 좌변은 [math(\rm rad)] 단위를 내포하는 호도법의 미소각 [math({\rm d}\theta)]로 단위가 없는 미소 사인함수 [math({\rm d}(\sin\theta))][* 삼각함수는 단위원에서 단위가 없는 두 좌표의 비를 결과값으로 가지므로 단위를 갖지 않는 순수한 수치이다. 따라서 수치의 미소 변화량인 [math({\rm d}(\sin\theta))] 역시 단위를 갖지 않는다.]를 나눈 것과 같으므로 도량형학 관점에서 좌변은 단위가 [math(\dfrac1{\rm rad})]이다. 그러나 우변은 단위가 없는 [math(\cos\theta)]이므로 위 식은 도량형학 관점에서는 틀린 수식이 된다. 단위 관계를 맞추기 위해 좌변에 [math(\rm rad)]을 곱해서 ||<:> [math(\dfrac{{\rm d}(\sin\theta)}{{\rm d}\theta}{\rm rad} = \dfrac{{\rm d}(\sin\theta)}{{\rm d}(\theta/{\rm rad})} = \cos\theta)] || 로 나타낸다 해도 문제가 되는데, 알려진 바와 같이 [math(\sin\theta)]는 정의상 다음과 같이 무한 급수 ||<:> [math(\sin\theta = \theta - \dfrac{\theta^3}{3!} + \dfrac{\theta^5}{5!} - \dfrac{\theta^7}{7!} + \cdots)] || 와 같으므로 대입하면 ||<:> [math(\begin{aligned}\frac{{\rm d}(\sin\theta)}{{\rm d}(\theta/{\rm rad})} &= \frac{\rm d}{{\rm d}(\theta/{\rm rad})}{\left(\theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \frac{\theta^7}{7!} + \cdots\right)} \\ &= {\rm rad} - \frac{\theta^2}{2!}{\rm\,rad} + \frac{\theta^4}{4!}{\rm\,rad} - \frac{\theta^6}{6!}{\rm\,rad} + \cdots\end{aligned})] || 으로 우변에 [math(\rm rad)]이 일괄적으로 곱해진 수식이 되며, 첫째 항은 단위가 [math(\rm rad)], 둘째 항은 [math(\theta^2)]까지 포함하여 단위가 [math(\rm rad^3)], 같은 방식으로 셋째 항은 단위가 [math(\rm rad^5)] 등등이 되어 양변의 단위가 전혀 맞지 않는 수식이 된다. 이를 해결하는 유일한 방법은 '''삼각함수의 정의역에 [math(\boldsymbol\theta)]가 아닌 [math(\boldsymbol\theta{\bf/rad})], 즉 호도법 각도의 수치[* (물리량)[math(=)](수치)[math(\times)](단위)라는 관계를 다시 상기해보면, [math(\theta/{\rm rad})]은 (물리량)[math(\div)](단위) 꼴이며 이는 곧 (수치)를 의미하므로, [math(\theta/{\rm rad})]이란 곧 호도법 각도의 수치를 의미하는 표기법이다.]가 들어가는 것'''이다. 혹은 다음과 같이 보일 수도 있다. 평면 좌표계에서 반지름이 [math(r)]인 원위의 좌표 [math((x,\,y))]에 대하여 [math(\dfrac yr)]는 단위를 갖지 않는(설령 단위를 갖는다 하더라도 서로 같은 단위와 [[차원(물리량)|차원]]을 공유하는) [math(y)]와 [math(r)]의 비이므로 [math(\dfrac yr)]는 단위를 갖지 않는 순수한 수치이다. 이때 다음과 같은 무한 급수 ||<:> [math(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!{\cdot}(2n+1)}{\left(\frac yr\right)}^{2n+1} = \frac yr + \frac16{\left(\frac yr\right)}^3 + \frac3{40}{\left(\frac yr\right)}^5 + \frac5{112}{\left(\frac yr\right)}^7 + \cdots)] || 는 순수한 수치들로만 구성된 급수이므로 위 급수가 특정 값 [math(\alpha)]로 수렴한다면 [math(\alpha)] 역시 단위를 갖지 않는 순수한 수치이다. 위 급수는 [math(\left|\dfrac yr\right|\le1)]일 때 수렴하는 것으로 알려져 있는데 [math(y)]가 반지름이 [math(r)]인 원 위의 점 [math((x,\,y))]의 좌표이므로 수렴하며, 이 값은 [[역삼각함수|[math(\arcsin\cfrac yr = \alpha)]]], 즉 [math(\sin)] 함수의 정의역인 '각에 관한 값'을 나타낸다. [math(-\dfrac\pi2\le\alpha\le\dfrac\pi2)]라고 할 때, [math(\sin\alpha = \dfrac yr)]로 나타낼 수 있으며 [math(\alpha)]는 단위를 갖지 않는 수치이므로 [math(\rm rad)] 단위를 갖는 [math(\theta)]로 환원하면 [math(\theta = \alpha{\rm\,rad} \Leftrightarrow \alpha = \theta/{\rm rad})], 즉 삼각함수의 정의역에는 [math(\rm rad)] 단위가 약분된 수치 [math(\theta/{\rm rad})]이 들어가야 한다. 이 특징이 흔히 '호도법으로 나타낸 각은 [math(\rm rad)] 단위를 쓰지 않아도 된다'고 잘못 알려져 있는데 애초에 [math(\rm rad)]을 뗀 수치만을 정의역으로 가져야 수학에서 쓰는 공식을 물리학에서도 그대로 쓸 수 있다는 특성이 와전된 것이다. 실제로 위와 같이 삼각함수의 정의역에 단위를 포함하지 않는, 호도법 각의 수치만 들어가야한다는 고찰은 일찍이 학계에서도 논의된 바 있다. 해당 표기에 대해서는 학자마자 저마다의 표기를 써서 중구난방이긴 하지만 나열하면 다음과 같다.[* 아래 논문 외에도 [math(\rm rad)]이 약분된 물리량이 다뤄져야 한다는 논문으로서 [[https://nvlpubs.nist.gov/nistpubs/jres/66B/jresv66Bn3p97_A1b.pdf|J. E. Romain의 1962년 논문([math(\left<\theta\right> = \theta/{\rm rad})])]], [[https://www.researchgate.net/publication/253371022_Dimensional_angles_and_universal_constants|J.-M. Levy-Leblond의 1998년 논문([math(\angle = {\rm rad})])]], [[https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0026-1394/47/6/R01|M. P. Foster의 2010년 리뷰([math(k = {\rm rad}^{-1})])]] 등이 있다. 아래 논문들과의 차이점이라면 삼각함수의 정의역까지 고찰하지 않고 호의 길이에 관한 내용에서 끝났다는 점이다. 호의 길이 역시 [math(l=r\theta)]가 아닌 [math(l=r\theta/{\rm rad})]이 좀 더 엄밀한 표기이다.] * A. B. Torrens의 [[https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0026-1394/22/1/002|1986년 논문]]: 호의 길이가 [math(s)], 반지름이 [math(R)]인 부채꼴의 중심각을 나타내는 식 [math(\theta = \dfrac sR)]에서 [math(\dfrac sR)]가 의미하는 바가 '각도의 수치'(angle in radians, i. e. [math(\theta/{\rm rad})])인지 아니면 단위를 갖는 '각'(angle, [math(\theta)]) 그 자체인지 혼란을 야기한다고 고찰하였고 [math(\dfrac sR)]는 본질적으로 단위가 없는 순수한 수치이므로 좌변의 '각'을 의미하는 [math(\theta)]의 단위를 약분하는 [math(\eta = {\rm rad}^{-1})]의 도입을 제안하였다. 이에 따라 라디안으로 나타낸 각 [math(\varphi)]에 대하여 [math(s = \eta R\varphi)]이므로 [math({\rm d}s = \eta R{\rm\,d}\varphi)]가 되고 [math(\varphi)]를 정의역으로 갖는 삼각함수를 [math(\operatorname{Sin})], [math(\operatorname{Cos})]와 같이 첫 글자를 대문자로 표기하여 ||<:> [math(\begin{aligned}{\rm d}(\operatorname{Sin}\varphi) &= \frac{{\rm d}y}R \\ &\simeq \frac{{\rm d}s\operatorname{Cos}\varphi}R \\ &= \frac{(\eta\cancel R{\rm\,d}\varphi)\operatorname{Cos}\varphi}{\cancel R} \\ &= \eta\operatorname{Cos}\varphi{\rm\,d}\varphi \\ \therefore \frac{\rm d}{{\rm d}\varphi}\operatorname{Sin}\varphi &= \eta\operatorname{Cos}\varphi\end{aligned})] || 의 관계식을 이끌어냈고[* 중간의 [math({\rm d}y \simeq {\rm d}s\operatorname{Cos}\varphi)]는 평면좌표계에서의 기하학을 동원하였다.] 위 식은 일반적으로 쓰이는 미분식 [math(\dfrac{\rm d}{{\rm d}x}\sin x = \cos x)]에서 [math(x = \eta\varphi)]인 경우를 다르게 풀어쓴 표현이라는 점까지 고찰하였다. * K. R. Brownstein의 [[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/65/7/605/1044630/Angles-Let-s-treat-them-squarely?redirectedFrom=fulltext|1997년 논문]]: [math(\square = {\rm rad}^{-1})]을 도입했으며 [math(\sin(\square\theta))]와 같은 방식으로 나타냈다. 아울러 혼란을 피하기 위함인지[* 멀리 갈 것도 없이 편미분 연산자의 하나인 [[달랑베르시안]]과 표기가 겹친다.] [math(\sin(\square\theta) = \operatorname{Sin}\theta)]로 쓰는 것을 제안하기도 했다. * P. Quincey의 [[https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0026-1394/53/2/840|2016년 논문]]: 단위 관계를 맞추기 위한 여러 옵션 중 Torrens가 제안했던 [math(\eta = {\rm rad}^{-1})]을 인용(네 번째 옵션)했다. [math(\sin\theta = \eta\theta - \dfrac{\eta^3\theta^3}{3!} + \dfrac{\eta^5\theta^5}{5!} - \cdots)]와 같은 서술이 보인다. * P. Quincey의 [[https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1681-7575/ac023f|2021년 레터]]([[https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/2108/2108.05704.pdf|arXiv 버전]]): 위 논문 저자의 2021년 레터인데 2016년도 논문과 달리 [math(\theta_{\rm C} = {\rm rad})]을 도입했으며 Brownstein의 서술을 인용하며 [math(\sin x)]와 구분하기 위해 [math(\operatorname{Sin}\theta = \sin(\theta/\theta_{\rm C}) = (\theta/\theta_{\rm C}) - \dfrac16(\theta/\theta_{\rm C})^3 + \cdots)]로 표기를 나누는 것도 좋은 방법일 것이라 제안했다.[* 사실상 Torrens가 제안했던 것을 문자만 다르게 표현한 것에 지나지 않는다.] 한편으론, [[스테라디안]] [math(\rm sr)]이 [math({\rm sr} = {\rm rad}^2)]이라는 점을 밝히며[* 이 관계식은 참이다. 단, 그렇다고 해서 [math(\rm rad^2)]이 등장하는 모든 물리 공식에 [math({\rm rad^2} = {\rm sr})]이 적용되는 것은 아니다. [[입체각]] 참고.] [[입체각]] [math(\Omega)] 역시 수치만을 다루는 공식에서는 [math(\Omega/{\theta_{\rm C}}^2)]으로 대체되어야 함을 밝혔으며, 각주파수 [math(\omega)]역시 복소평면 상의 미분 방정식의 해로 나타낼 땐 [math(x = A\exp({\rm i}\omega t/\theta_{\rm C}))]와 같은 표기로 대체되어야 한다는 점도 드러냈다. 이에 따라 육십분법이나 그레이드로 나타낸 각도는 삼각함수의 정의역에 들어갈 때 '''호도법의 각 수치로 환산된 공식의 형태로만''' 들어가게 되는데[* 이는 곧 [math(\sin60\degree)]와 같은 표기는 엄밀하지 않은 표기이고 [math(\sin(60\degree) = \sin\dfrac\pi{180\degree}{\cdot}60\degree = \sin\dfrac\pi3 = \dfrac{\sqrt3}2)]과 같이 쓰는 것이 올바른 표기라는 뜻이기도 하다.] [math(\phi_{\degree} : 360\degree = \phi_{{}^{\rm g}} : 400^{\rm g} = \theta : 2\pi{\rm\,rad} \Leftrightarrow \theta/{\rm rad} = \cfrac\pi{180\degree}\phi_{\degree} = \cfrac\pi{200^{\rm g}}\phi_{{}^{\rm g}})]이므로 ||<:> [math(\begin{aligned} \sin(\theta/{\rm rad}) &= \sin\frac\pi{180\degree}\phi_\degree \\ &= \sin\frac\pi{200^{\rm g}}\phi_{{}^{\rm g}}\end{aligned})] || 이며 따라서 [math(\lim\limits_{\frac\theta{\rm rad}\to0}\cfrac{\sin(\theta/{\rm rad})}{\theta/{\rm rad}} = 1)]이라는 공식은 각도를 다른 단위의 물리량으로 치환하면 결과값이 바뀌게 된다. 이를테면 ||<:> [math(\begin{aligned}\lim\limits_{(\phi_\degree/\degree)\to0}\frac{\sin(\theta/{\rm rad})}{\phi_\degree/\degree} &= \frac{\sin\dfrac\pi{180}(\phi_\degree/\degree)}{\phi_\degree/\degree} \\ &= \frac\pi{180} \end{aligned})] || 이다. 물론 삼각형과 부채꼴의 넓이로부터 해당 공식을 유도하는 과정을 육십분법으로 진행하게 되면 결과적으로 분모가 각각 [math(\dfrac\pi{180\degree}\phi_\degree)], [math(\dfrac\pi{200^{\rm g}}\phi_{{}^{\rm g}})]가 되기 때문에 여전히 공식은 [math(1)]이다. 아래의 [[삼각함수#특수한 극한값을 갖는 합성함수|특수한 극한값을 갖는 합성함수]] 항목 참고. 이는 물리량으로 나타낸 양 방정식(quantity equation)은 단위에 상관 없이 관계식이 일정한데 반해, 수치 방정식(numerical equation)은 무슨 단위를 썼냐에 따라 공식이 변한다는 일반적인 성질[* 아주 쉬운 예로 등속직선운동에서 속력과 거리에 관한 공식 [math(d=vt)]를 들 수 있다. 양 방정식인 [math(d=vt)]는 각 물리량이 단위를 이미 내포하고 있고 구체적인 수치를 다룰 때에나 단위환산 과정이 들어가지 결과적으로 속력 [math(v)]와 시간 [math(t)]를 곱해서 거리라는 물리량 [math(d)]가 도출되는 건 똑같다. 그러나 위 공식을 수치 방정식으로 치환할 경우 [[단위환산]]이 본격적으로 수식에 드러나기 때문에 식의 형태가 대부분의 경우 바뀐다고 보면 된다. 가령 [math(d)]의 단위가 [math(\rm m)]이고 [math(v)]의 단위가 [math(\rm m/s)]이고 [math(t)]의 단위가 [math(\rm s)]라면 그대로 [math(\cfrac d{\rm m} = \cfrac v{\rm m/s}{\cdot}\cfrac t{\rm s})]로 쓰면 되지만 [math(v)]의 단위가 [math(\rm km/h)]라면 [math(\rm km/h = \dfrac{1000{\rm\,m}}{3600{\rm\,s}} = \dfrac1{3.6}{\rm\,m/s})]이므로 [math(\cfrac d{\rm m} = \cfrac1{3.6}\cfrac v{\rm\,km/h}{\cdot}\cfrac t{\rm s})]로 [math(v)]의 수치에 [math(\dfrac1{3.6})]이 곱해져 식의 꼴이 변한다.]을 잘 보여주는 부분이기도 하다. 정리하면 물리량을 다루는 도량형학 혹은 물리학 관점에서 삼각함수는 [math(\sin\theta)], [math(\cos\theta)], [math(\tan\theta)] 등이 아닌 단위 [math(\rm rad)]이 약분된 물리량 [math(\sin(\theta/{\rm rad}))], [math(\cos(\theta/{\rm rad}))], [math(\tan(\theta/{\rm rad}))] 등으로 쓰는 게 엄밀한 표기이며 '''삼각함수는 본질적으로 물리량을 다루는 양 방정식의 함수가 아닌, 수치를 다루는 수치 방정식의 함수'''이다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기