문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 복소해석학 (문단 편집) === 등각 사상 === 어떤 복소함수가 존재한다고 했을 때, 이 함수가 등각사상이라는 말은 복소평면상의 두 복소곡선이 한 점 [math(\alpha)]에서 만날 때, 이 두 곡선을 정의역이라 두면, 치역으로 나오는 두 복소곡선의 내각이 정의역 곡선이 이루는 내각과 동일하다는 것을 의미한다. 단, 중요한 점은 [math(f'\left(\alpha\right)\neq 0)]이어야 한다는 점인데, [math(f'\left(\alpha\right)=0)]이라면 이 점에서의 내각을 구하는 것은 무의미해지며, 실함수에서 [math(f''\left(\alpha\right)=0)]인 점을 변곡점이라고 명명했던 것처럼 이 점을 변곡점이라고 칭한다. [math(f\left(z\right)=z^2)]를 예시로 들면, 이 함수는 [math(f'\left(z\right)=2z)]이므로 [math(z=0)]에서 [math(f'\left(z\right)=0)]이 된다. 이 때, 실수축과 허수축을 정의역이라 둘 경우, 이 두 정의역 집합은 함수 [math(f)]를 거쳐서 다음과 같은 치역집합으로 변경된다.[br][math(\mathcal{C}_{1}=\left(-\infty,\infty\right)=\mathbb{R}, \mathcal{C}_{2}=\left(-i\infty, i\infty\right)=i\mathbb{R} \to f\left(\mathcal{C}_{1}\right)=[0, \infty), f\left(\mathcal{C}_{2}\right)=\left(-\infty, 0\right]{})][* 즉, 둘 다 실수축의 양 옆에서 접근했다가 되튕기는 양상을 보이며, 이 두 치역집합은 서로 직교하지 않고 같은 직선상에 늘어서게 된다. 이 외에도 여러가지 예시를 들 수 있으며, [math(f'\left(\alpha\right)=0)]인 점에서는 일반적으로 내각이 보존되지 않는 예외 사상이 발생한다. 그렇기 때문에 방향이 갑자기 바뀔 수 있다고 해서 변곡점이라고 붙는 것.] 물론 [math(z=0)]이 아니기만 하면 되므로 [math(\Im{z}=1, \Re{z}=1)]인 수직인 두 직선([math(l_1:z=x+i)], [math(l_2:z=1+yi)]. 단 [math(x, y \in \mathbb{R})])의 경우 [math(z=1+i)]에서 교차하는데, [math(f(l_1)=x^2-1+2xi)], [math(f(l_2)=1-y^2+2yi)]이고, [math(f(1+i)=2i)]이고, [math(f(l_1|_{x=1}), f(l_2|_{y=1}))]에서 직교하는걸 알 수 있다. 실제로 [math(f(l_1), f(l_2))]의 실수부와 허수부를 각각 [math(x, y)]좌표로 치환해서 실수평면으로 옮겨보면, [math(f(l_1))]은 [math(4y=y^2-1)], [math(f(l_2))]는 [math(4y=1-y^2)]이 되는데, 음함수의 미분을 이용해서 계산해보면 [math(\displaystyle f'(l_1)=\frac{2}{y})], [math(\displaystyle f'(l_2)=-\frac{2}{y})]가 되고, [math((0, 2))]에서의 각각의 미분계수는 1과 -1로 서로 직교함을 보일 수 있다. >{{{+2 증명}}} >영역 [math(\mathcal{A})]에서 [math(\mathcal{B})]로 연관시키는 [math(\forall z\in\mathcal{A}, z\to w\left(\forall w\in\mathcal{B}\right))]로 정의되는 해석적 함수 [math(f)]가 있다고 가정하자. >(단 [math(z=x+iy, w=u+iv)]). > >영역 [math(\mathcal{A})]상에서 [math(\alpha)]에서 만나는 임의의 두 경로 [math(\mathcal{C}_{1}, \mathcal{C}_{2})]를 정의하자.(단 [math(f'\left(\alpha\right)\neq 0)]) >영역 [math(\mathcal{A})]에서 [math(f)]가 해석적이므로, [math(f)]는 영역 [math(\mathcal{A})]에서 연속적이며 미분가능하다. >[math(f)]가 해석적이며 [math(\mathcal{C}_{1}, \mathcal{C}_{2} \in \mathcal{A})]이므로, [math(f)]를 통한 [math(\mathcal{C}_{1}, \mathcal{C}_{2})]의 [math(\mathcal{B})]위의 상인 곡선 [math(\mathfrak{C}_{1}, \mathfrak{C}_{2})]가 존재함은 자명하다. >그러면 각각의 곡선이 실수축 [math(x)]과 이루는 내각을 각각 [math(\boldsymbol{\psi}_{1}, \boldsymbol{\psi}_{2})]라고 할 수 있다. >경로 [math(\mathcal{C}_{1}, \mathcal{C}_{2})]상에 각각 점을 하나씩 잡아서 [math(z_{1}, z_{2})]라고 정의하자. >그렇다면 두 곡선의 내각은 [math(\displaystyle{\lim_{z_{1}, z_{2}\to\alpha}\angle{z_{2}\alpha z_{1}}}=\boldsymbol{\psi}_{2}-\boldsymbol{\psi}_{1}=\boldsymbol{\psi})]가 된다. > >그런데 [math(z_{1}-\alpha=r_{1}e^{i\theta_{1}}, z_{2}-\alpha=r_{2}e^{i\theta_{2}})]라고 둘 수도 있다. >복소평면에서도 일반 평면상의 극한이 그대로 적용되므로, [math(r\to 0)]으로 두면 [math(z_{1}, z_{2}\to\alpha)]임은 명백하다. >또한, [math(\theta_{1}\to\boldsymbol{\psi}_{1}, \theta_{2}\to\boldsymbol{\psi}_{2})]임도 명백하다. >이제 [math(f\left(\alpha\right)=\beta)]라고 두자. >[math(\alpha\in\mathcal{C}_{1}, \mathcal{C}_{2})]이므로 [math(\beta\in\mathfrak{C}_{1}, \mathfrak{C}_{2})]다. >그러므로 [math(f\left(z_{1}\right)=w_{1}, f\left(z_{2}\right)=w_{2})]라고 한 뒤, 위의 방식대로 다시 정리하자. > >[math(w_{1}-\beta=R_{1}e^{i\phi_{1}}, w_{2}-\beta=R_{2}e^{i\phi_{2}})]이며, [math(\mathfrak{C}_{1}, \mathfrak{C}_{2})]가 이루는 각은 [math(\displaystyle{\lim_{w_{1}, w_{2}\to\beta}\angle{w_{2}\beta w_{1}}})]가 된다. >가정에서 [math(f'\left(\alpha\right)\neq 0)]이라고 했으므로, [math(f'\left(\alpha\right)=\rho e^{i\lambda})]라고 정의할 수 있다. >[math(f'\left(\alpha\right)=\displaystyle{\lim_{z_{1}\to \alpha}\frac{w_{1}-\beta}{z_{1}-\alpha}})]인데, 위에서 [math(w_{1}-\beta=R_{1}e^{i\phi_{1}}, z_{1}-\alpha=r_{1}e^{i\theta_{1}})]라고 했으므로 대입하자. >[math(f'\left(\alpha\right)=\displaystyle{\lim_{z_{1}\to \alpha}\frac{w_{1}-\beta}{z_{1}-\alpha}}=\displaystyle{\lim_{z_{1}\to \alpha}\frac{R_{1}e^{i\phi_{1}}}{r_{1}e^{i\theta_{1}}}}=\displaystyle{\lim_{z_{1}\to\alpha}\frac{R_{1}}{r_{1}}e^{i\left(\phi_{1}-\theta_{1}\right)}}=\rho e^{i\lambda})] >즉 [math(\rho=\displaystyle{\frac{R_{1}}{r_{1}}}, \lim_{z_{1}\to\alpha}\lambda=\lim_{z_{1}\to\alpha}\left(\phi_{1}-\theta_{1}\right)=\lim_{w_{1}\to\beta}\lambda)]가 되어, [math(\lambda+\boldsymbol{\psi}_{1}=\phi_{1})]이 된다. >역시 마찬가지로 [math(\lambda+\boldsymbol{\psi}_{2}=\phi_{2})]가 된다. >[math(\displaystyle{\lim_{w_{1}, w_{2}\to\beta}\angle{w_{2}\beta w_{1}}})]는 [math(\phi_{2}-\phi_{1})]이므로, 각각을 위에서 구한 값으로 치환하면 >[math(\phi_{2}-\phi_{1}=\left(\lambda+\boldsymbol{\psi}_{2}\right)-\left(\lambda+\boldsymbol{\psi}_{1}\right)=\boldsymbol{\psi}_{2}-\boldsymbol{\psi}_{1}=\boldsymbol{\psi})]가 된다. >즉 [math(f)]가 주어진 영역 내에서 해석적이라면 이 함수는 정의역의 두 곡선이 이루는 각을 그대로 치역에서도 보존하는 등각사상이 된다. 비슷한 것으로 등편각 사상이라는게 존재하는데, 이쪽은 내각의 부호가 바뀐다. 그런데 위의 증명은 결국 함수를 계속해서 극좌표화 해야 하는 단점이 존재한다. 단순하게 미분의 성질만으로 증명하려면 아래의 방식을 사용하는 편이 빠르다. >매끄러운 곡선 [math(\mathcal{C}_{1})]가 다음 식으로 정의된다고 하자. >[math(z=z\left(t\right), \left(a\leq t \leq b\right))] >또한 함수 [math(f\left(z\right))]를 [math(\mathcal{C}_{1})]상의 모든 점 [math(z)]에서 정의된다고 하자. >그러면 다음 식은 변환 [math(w=f\left(z\right))]에 의한 [math(\mathcal{C}_{1})]의 상 [math(\Gamma_{1})]에 대한 매개변수 표현식이 된다. >[math(w=f\left(z\left(t\right)\right), \left(a\leq t \leq b\right))] >곡선 [math(\mathcal{C}_{1})]는 해석적인 점 [math(z_{0}=z\left(t_{0}\right), \left(a >[[미분#s-4.2|미분의 연쇄법칙]]에 의하여, 다음 식이 얻어진다. >[math(w'\left(t_{0}\right)=f'\left(z\left(t_{0}\right)\right)z'\left(t_{0}\right))] >그런데 편각의 성질을 고려하면, 다음 식이 성립함을 알 수 있다. >[math(\arg w'\left(t_{0}\right)=\arg f'\left(z\left(t_{0}\right)\right)+ \arg z'\left(t_{0}\right))] >마찬가지로 매끄러운 곡선 [math(\mathcal{C}_{2})]을 [math(\mathbf{z}=\mathbf{z}\left(l\right), \left(c\leq l \leq d\right))]이라고 정의하자. >그리고 [math(\mathcal{C}_{2})]도 역시 [math(\mathcal{C}_{2})]상의 모든 점 [math(\mathbf{z})]에서 [math(f)]가 정의된다고 하자. 그러면 [math(\mathbf{w}=f\left(\mathbf{z}\right))]에 의한 [math(\mathcal{C}_{2})]의 상 [math(\Gamma_{2})] 매개변수 표현식 역시 다음과 같이 된다. >[math(\mathbf{w}=f\left(\mathbf{z}\left(l\right)\right), \left(c\leq l \leq d\right))] >[math(\mathcal{C}_{2})]도 해석적인 점 [math(z_{0}=\mathbf{z}\left(l_{0}\right), \left(c[math(\arg \mathbf{w}'\left(l_{0}\right)=\arg f'\left(\mathbf{z}\left(l_{0}\right)\right)+ \arg \mathbf{z}'\left(l_{0}\right))]이 성립함도 자명하다. >그런데, [math(z\left(t_{0}\right)=\mathbf{z}\left(l_{0}\right)=z_{0})]라는걸 고려하자. >그렇다면 위의 두 식 >[math(\begin{cases} \arg w'\left(t_{0}\right)=\arg f'\left(z\left(t_{0}\right)\right)+ \arg z'\left(t_{0}\right)\\\arg \mathbf{w}'\left(l_{0}\right)=\arg f'\left(\mathbf{z}\left(l_{0}\right)\right)+ \arg \mathbf{z}'\left(l_{0}\right)\end{cases})] >은 다음과 같이 바뀐다. >[math(\begin{cases} \arg w'\left(t_{0}\right)=\arg f'\left(z_{0}\right)+ \arg z'\left(t_{0}\right)\\\arg \mathbf{w}'\left(l_{0}\right)=\arg f'\left(z_{0}\right)+ \arg \mathbf{z}'\left(l_{0}\right)\end{cases})] >곡선 [math(\mathcal{C}_{1}, \mathcal{C}_{2})]가 [math(\alpha)]에서 이루는 끼인각은 [math(\arg \mathbf{z}'\left(t_{0}\right)-\arg z'\left(l_{0}\right))]임은 자명하다. >그런데 이 두 곡선의 상인 [math(\Gamma_{1}, \Gamma_{2})]가 이루는 각은 마찬가지 사고방식으로 [math(\arg \mathbf{w}'\left(l_{0}\right)-\arg w'\left(t_{0}\right))]임이 자명한데, 바로 위의 식의 관계를 대입해보자. >[math(\arg \mathbf{w}'\left(l_{0}\right)-\arg w'\left(t_{0}\right)=\arg f'\left(z_{0}\right)+ \arg \mathbf{z}'\left(l_{0}\right)-\arg f'\left(z_{0}\right)- \arg z'\left(t_{0}\right)=\arg \mathbf{z}'\left(t_{0}\right)-\arg z'\left(l_{0}\right))]가 된다. >즉, 두 곡선 [math(\mathcal{C}_{1}, \mathcal{C}_{2})]가 이루는 내각은 두 곡선이 [math(f)]에 대한 상인 두 곡선 [math(\Gamma_{1}, \Gamma_{2})]가 이루는 내각과 같다.([math(\mathbf{Q.E.D.})]) 단, 주의해야 할 점은, 등각사상은 어디까지나 '''일변수 복소함수'''에서만 성립한다. '''다변수 복소함수'''에서는 [[뫼비우스 변환]]을 제외하면 일반적으로 성립하지 않는 성질이다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기