문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 방정식/풀이 (문단 편집) === 오차 이상의 방정식 === '''결론부터 말하면 5차 이상의 방정식의 일반적인 대수적 근의 공식은 __없다.__''' 그러나, 착각하지 말아야 할 것은 대수적인 해가 없는 것 뿐이지 [[타원곡선]], [[브링 근호]], [[초기하함수]] 등을 이용하면 일반적인 해를 구할 수 있다. [[https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E5%2Bx%2Ba%3D0|초기하함수로 나타낸 방정식 [math(x^5+x+a=0)]의 일반해]][* Solutions for the variable x: 를 보면 다섯 개의 일반해가 적혀 있다.] 애당초 일반적으로 말하는 근의 공식은 '''사칙연산과 거듭제곱근 연산만을 토대로''' 만들어진 식의 유무를 물어보는 것 뿐이지, 초월함수등을 이용한 대수적 범위를 벗어난 공식의 유무까지 부정하는 것은 아니다. * 당연한 얘기지만, [[인수분해]]가 되면 인수분해해서 다른 방정식과 같은 방법으로 해를 구하면 된다. * 복삼차식이나 복사차식, 삼복이차식, 복복이차식,... 등도 근의 공식으로 해를 구할 수 있으며 최대 4차까지로 인수분해 가능한 형태이면 근의 공식으로 풀 수 있다. 당장 3차방정식, 4차방정식 근의 공식 유도 과정중에 이러한 과정이 나온다. * 수학자 [[닐스 헨리크 아벨|아벨]]이, [math(n\ge5)][* n이 꼭 [[자연수]]일 필요는 없지만, [[자연수]]라면 더 좋다.]일 때, [math(n)]차방정식은 주어진 식에서(유리수든 실수든 복소수든 관계없다.) '''유한 번'''의 제곱근 처리 및 사칙연산으로 답을 구할 수 있는 일반화된 해법이 존재하지 않는다는 사실을 증명했다. * 수학자인 [[에바리스트 갈루아|갈루아]]는 '오차 이상의 대수방정식이 해법이 구해질 수 있는 조건'에 대해 논문을 썼다. 뭔가를 밝혀냈다는 말 없이 논문[* 다만 [[EBS]]다큐프라임 중 '자유의 수 x'에서 그 논문은 분실했다고 언급된다.]을 썼다는 것 하나로 서술이 끝났다는 것에서 감이 잡힐 듯 싶다. * [[브링 근호]]([[http://en.wikipedia.org/wiki/Bring_radical|Bring radical]])를 사용하면 임의의 5차방정식의 해를 나타낼 수 있다. 방정식 [math(x^5+x+a=0)]는 오직 하나의 실근을 가지는데, 이 근을 [math(\mathrm{BR}(a))] 또는 [math(\mathrm{ultraradical}(a))][* 숫자 5를 닮은 모양의 [[https://mathworld.wolfram.com/images/eps-gif/Ultraradical_1000.gif|특수한 근호]]를 쓰기도 한다.]로 정의하고 이것을 이용해 오차방정식의 해를 나타낸다. 모든 오차방정식은 [[취른하우스 정리|치른하우스 변환(Tschirnhaus Transformation)]]을 통해 [math(x^5+x+a=0)]의 꼴로 축약할 수 있다. 브링 근호는 [[타원곡선]], [[초기하함수]] 등을 이용하여 나타낼 수 있다. * 다만, 일반화된 해법이 없을 뿐이지, 모든 오차이상의 방정식을 사칙연산과 (거듭)제곱근을 유한번 이용해서 풀 수 없는 것은 아니다. 모든 [[1의 거듭제곱근|Root of Unity]][* 단위근, [math(x^n - 1 = 0)]([math(n)]은 자연수)의 모든 해]는 사칙연산과 유한 번 제곱근 처리로 답을 낼 수 있으며,[* 방데르몽드가 [math(x^5 + x^4 - 4x^3 - 3x^2 + 3x + 1 = 0)]의 해인 [math(\displaystyle 2\cos\frac{2k\pi}{11} \, (k = 1, 2, ..., 5))]를 사칙연산과 제곱근 처리 몇 번으로 해결한 적이 있으며, 가우스가 정17각형 작도 가능을 증명하면서 [math(\displaystyle \cos\frac{2\pi}{17})]의 값을 [[카를 프리드리히 가우스]] 문서에 있는 식처럼 나타낸 것도 유명하다.] [math(x^5 - 5x + 12 = 0)]나 [math(x^6 + x^4 - x^3 - 2x^2 + 3x - 1 = 0)] 등 특수한 5차 이상의 방정식이 사칙연산과 유한 번 제곱근 처리로 계산이 가능하다는 것을 보여주는 [[https://www.google.com/url?sa=t&source=web&rct=j&url=https://www.ams.org/mcom/1991-57-195/S0025-5718-1991-1079014-X/S0025-5718-1991-1079014-X.pdf&ved=2ahUKEwj57a2U1djiAhULv7wKHQnuDKoQFjAAegQIAhAB&usg=AOvVaw2vhQH-GivwAsFRiUmHbcPc|Dummit]]이나 [[https://www.google.com/url?sa=t&source=web&rct=j&url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S002186930098428X&ved=2ahUKEwjlhZic1tjiAhWEKqYKHT5sCosQFjAHegQIARAB&usg=AOvVaw0wYwC8Ge2am_0d25PVVoDf|Hagedorn]] 등 수학자들의 연구 또한 존재한다. 정확히는 어떤 주어진 5차 이상의 방정식으로 갈루아군을 만들었을 때, 가해군이 된다는 것을 보일 수만 있다면 그 방정식은 대수적인 풀이가 존재하게 된다. 다만 일반화된 5차 이상의 방정식의 경우, [math(\rm{S}_{5})] 이후의 갈루아군은 일반적으로 가해군이 아니기 때문에 대수적인 풀이는 존재하지 않는다.[* 5차 방정식의 경우, '''중근이 없다는 조건 하'''에서 실근이 셋에 허근이 2개가 존재할 경우가 가해군이 되지 않는다. 이 경우의 5개의 근으로 치환을 만들 경우 [math(\rm S_{5})]와 동형이 된다는 것이 증명되어 있다.] [youtube(L8W684pCHyc)] [[blackpenredpen]]이 찾은 5차방정식 특수해 근의 공식저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기