문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 방정식/풀이 (문단 편집) === [[삼차방정식]] === [math( ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 )]으로 정리한 뒤 여러 가지 방법을 이용한다. * 인수분해가 되는 꼴일 경우 [math( a \left(x - \alpha\right) \left(x - \beta\right) \left(x - \gamma\right) = 0 )] 혹은 [math( a \left(x - \alpha\right) \left(x^2 + \beta x + \gamma\right) = 0 )]으로 정리한 뒤 근을 구한다. 일반적으로 삼차 이상의 방정식은 풀기가 쉽지 않지만 이차방정식의 인수분해를 이용하면 그 해를 구할 수 있다. * 그 외의 경우 삼차방정식의 근의 공식을 이용한다. 이 공식은 S. 페로와 [[니콜로 폰타나]]가 발견했으나, [[지롤라모 카르다노|카르다노]]는 삼차방정식의 일반적인 해법을 완성하였다. 그 이름을 따와 카르다노의 공식이라고 불린다. 이에 대해서는 [[니콜로 폰타나]], [[지롤라모 카르다노]] 문서로. >[math(\displaystyle-\frac{b}{3a}+\sqrt[3]{{-q+\sqrt{q^{2}+p^{3}}}}\omega^{k}+\sqrt[3]{{-q-\sqrt{q^{2}+p^{3}}}}\omega^{2k})] >([math(\displaystyle p:=\frac{c}{3a}-\frac{b^{2}}{9a^{2}})], [math(\displaystyle q:=\frac{d}{2a}+\frac{b^3}{27a^3}-\frac{cb}{6a^2})], [math(\omega)]는 [[1의 거듭제곱근/세제곱근|[math(x^3=1)]의 원시근]]([math(\omega^2+\omega+1=0)][* 실제값 [math(\displaystyle {-1 \pm \sqrt{3} i \over 2})]])이다.) >---- >정수 [math(k)]의 값에 따라 세 가지 값이 나오는데, 각각이 세 근이다. [math(2p\equiv -p\pmod 3)]이고, [math(\omega^2=\bar{\omega})]이므로 [math(\omega^{2k})]제곱 대신 [math(\omega^{3-k})]나 [math(\omega^{-k})], [math(\bar{\omega}^{k})]로 표기하기도 한다. 다항식 챕터에서 인수분해 풀기 싫어서 공식 외우려는 [[고등학생]]은 그냥 인수분해 하는 걸 추천한다.[* 고등학교 수학 수준에서는 3차방정식 이상의 풀이는 인수분해로 풀 수 있도록 문제를 만들기 때문에 굳이 복잡한 근의 공식을 사용하는 것보다 인수분해를 사용하는게 더 빠르고 정확하게 문제를 푸는 길이다.] 수학과 교수도 (유도과정만 알면 충분히 구하므로) 안 외우는 식이다. 일부 [[용자]]들은 이거 외워서 3차 방정식을 풀기도 한다. 4차 방정식도 외우는 용자도 있다. 물론 세제곱근을 암산해야 한다는 게 함정(...) 게다가 식에 [math(\sqrt[3]{\phantom{\cdots}})]이 있기 때문에 종이랑 연필만으로는 답이 안 나오는 경우가 허다하다. [[공학용 계산기]]쯤은 동원해야 되는데 [[공학용 계산기]]엔 이미 다항식 풀이 기능이 있다. 다만, [[Wolfram Alpha]] 사용자가 카르다노의 해법을 이용한 값을 입력하면 원래 근의 수치해와는 다른 값이 나오므로 주의해야 한다.[* 사실 이렇게 구한 값이 실제 값과 다르게 나오는 근본적인 이유는 Wolfram Alpha의 거듭제곱근 처리법에 있다. Wolfram Alpha에서 [math(n)]제곱근을 구할 때 복소수 [math(n)]개 중 그 편각이 구간 [math([ 0, 2\pi))]에서 가장 작은 것을 출력하기 때문이다. 편각이 [math(\pi)]인 음수를 넣으면 이보다 편각이 작은 복소수가 출력되는데, 이 때문에 실제 값과 괴리가 생기게 된다. 세제곱근 안의 수가 복소수라면 이 문제는 더욱 복잡해진다.] Wolfram Alpha는 아래 주석에서처럼 카르다노의 치환 대신 비에트[* 프랑스의 [[변호사]] 겸 수학자 [[프랑수아 비에트]](François Viète)]의 치환을 이용하여 구하기 때문이다. 유도 과정은 [math(x=y-\frac{b}{3a})]로 치환해 [math(x^2)]의 계수를 없앤 뒤, [math(a'y^3+c'y+d'=0)]로 정리하고, 여기에서 [math(y=u+v)]로 다시 치환해서 정리하면 [math(\left(3a'uv+c'\right)\left(u+v\right)+a'\left(u^3+v^3\right)+d'=0)]임을 이용, [math(3a'uv+c'=0)]과 [math(a'\left(u^3+v^3\right)+d'=0)]의 [[연립방정식]]을 통해 [math(u^3)], [math(v^3)]값을 찾아서 그걸로 [math(y)]값을 구하고 다시 [math(x)]값을 계산한다. 단, 이차항이 없는 방정식 같은 경우 이차항 없애는 과정 없이 바로 [math(y=u+v)]로 치환하는 과정부터 시작하면 된다.[* 비에트는 카르다노와 달리, [math(y = w - \frac{c^{\prime}}{3w})]로 치환했으며, 이 경우 정리하면 [math(w^3)]에 대한 이차방정식이 만들어진다. 이 이차방정식의 해를 하나 택한 후, 이 값에 세제곱근을 취한 [math(w)]의 값을 이용하여 [math(y)], [math(x)]의 값을 차례로 구한다. [[Wolfram Alpha]]는 이 방법을 이용하여 일반적인 삼차방정식을 구한다.] * 인수분해로 유도하는 방법도 있는데 [math((y+u+v)(y+\omega u+\omega^2 v)(y+\omega^2 u+\omega v)=y^3+u^3+v^3-3yuv=0)]을 이용하는 경우 [math(y+u+v=0)]으로 치환해서 [math(y=-u-v)]로 놓으며 [math(-u^3-v^3+d'=0)]로 d'를 u와 v에 관한 식으로 푼 후 [math(v=-\dfrac{c'}{3u})]로 u에 관해서 풀면 [math(u^6-d'u^3-\dfrac{c'^3}{27}=0)]로 u^3에 관해 이차방정식으로 풀면 나온다. 판별식을 분석하거나 y = 삼차식의 그래프를 그려봤을 때 분명 구한 세 근은 모두 실근인데, [[카르다노]]의 해법으로 풀었을 때 두 켤레복소수의 세제곱근의 합으로 이루어져 있는 경우도 많다. 이런 경우를 [[환원 불능]](casus irreducibilis)이라고 하며, 허수단위 [math(i)]를 없앤 상태로 표기할 수 없다.[* 물론 [[복소수]]의 [[절댓값]]을 구한 후 절댓값에 [[오일러 공식|cosx+isinx]]를 곱한 형태로 나타낸 후 그것의 세제곱근은 절대값의 세제곱근에 cos(x/3)+isin(x/3)을 곱한 값으로 쓸 수 있다.~~다항식을 풀기위해 [[삼각함수]]를 이용할 수 있는 것이다~~하지만 이 경우 세 근은 모두 실근이라는 것이 확실하다. 근데 이걸 삼각함수 정리를 이용해 풀려고 하면 또 다시 쳇바퀴에 빠지게 된다.] 이 경우, 실수(real number)로만 표기하려면 [[뉴턴-랩슨 방법]]등을 사용하여 근사값을 구하는 방법 밖에는 없다. * 만약 [[디오판토스 방정식|해가 정수/유리수라는 조건]][* 고등학교에서는 3차, 4차 방정식의 모든 항의 계수가 유리수라서 삼차는 적어도 하나의 유리근, 사차는 적어도 두 개의 실근이 나온다. ]이 걸려 있다면, [[타원곡선]]을 이용하는 것이 빠르다. [[https://www.quora.com/How-do-you-find-the-positive-integer-solutions-to-frac-x-y+z-+-frac-y-z+x-+-frac-z-x+y-4/answer/Alon-Amit|풀이]] * 다음은 삼차방정식 [math(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0(a \neq 0) )]의 근의 공식이다. ||<(> [math(\displaystyle x_1 = -\frac{b}{3a} - \frac{1}{3a}A - \frac{1}{3a}B)][br] [math(\displaystyle x_2 = -\frac{b}{3a} + \frac{1+i\sqrt3}{6a}A + \frac{1-\sqrt3}{6a}B)][br] [math(\displaystyle x_3 = -\frac{b}{3a} + \frac{1-i\sqrt3}{6a}A + \frac{1+\sqrt3}{6a}B)][br][br] [math(\displaystyle A = \sqrt[3]{\frac{1}{2} \left[ 2b^3 - 9abc + 27a^2d + \sqrt{(2b^3 - 9abc + 27a^2d)^2 - 4(b^2 - 3ac)^3} \right]})][br] [math(\displaystyle B = \sqrt[3]{\frac{1}{2} \left[ 2b^3 - 9abc + 27a^2d - \sqrt{(2b^3 - 9abc + 27a^2d)^2 - 4(b^2 - 3ac)^3} \right]})] || 이를 간추리면 다음과 같이 나타낼 수 있다. [math(P=b^2-3ac)] [math(Q=2b^3-9abc+27a^2d)] [math(x_1=-\dfrac{b}{3a}-\dfrac{\sqrt[3]{Q+\sqrt{Q^2-4P^3}}}{3\sqrt[3]{2}a}-\dfrac{\sqrt[3]{Q-\sqrt{Q^2-4P^3}}}{3\sqrt[3]{2}a})] [math(x_2=-\dfrac{b}{3a}+\dfrac{(1-\sqrt{3}i)\sqrt[3]{Q+\sqrt{Q^2-4P^3}}}{6\sqrt[3]{2}a}+\dfrac{(1+\sqrt{3}i)\sqrt[3]{Q-\sqrt{Q^2-4P^3}}}{6\sqrt[3]{2}a})] [math(x_3=-\dfrac{b}{3a}+\dfrac{(1+\sqrt{3}i)\sqrt[3]{Q+\sqrt{Q^2-4P^3}}}{6\sqrt[3]{2}a}+\dfrac{(1-\sqrt{3}i)\sqrt[3]{Q-\sqrt{Q^2-4P^3}}}{6\sqrt[3]{2}a})] 이것보다 최대한 더 간추리려면 [math(R=\dfrac{\sqrt[3]{Q+\sqrt{Q^2-4P^3}}}{6\sqrt[3]{2}a})] [math(S=\dfrac{\sqrt[3]{Q-\sqrt{Q^2-4P^3}}}{6\sqrt[3]{2}a})] 으로 놓고 [math(A=-\dfrac{b}{3a})] [math(B=R+S)] [math(C=\sqrt{3}i(R-S))] 라고 한다면 [math(x_1=A-2B)] [math(x_2=A+B-C)] [math(x_3=A+B+C)] 이처럼 아주 간단히--?-- 나타낼 수 있다.--그냥 인수분해 해서 풀자.--저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기