문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 로그(수학) (문단 편집) == 정의 == [math(a^x = b)]를 만족한다고 할 때, 지수^^exponent^^ [math(x)]를 밑^^base^^ [math(a)]와 진수^^value^^ [math(b)]를 이용하여 [math(x = \log_ab)]와 같이 정의한다. 그러니까 [math(\log)]란 밑수를 진수로 만드는 지수 [math(x)]를 의미하는 것이다. [math(x = \log_ab)]만 보면 알기 어려울 수도 있겠지만 [math(2^3 = 8)] 정도만 알면 [math(\log_28 = 3)]이라는 것 또한 쉽게 알 수 있다. * 읽을 때는 '[math(a)]를 밑으로 하는 [math(b)]의 로그'라고 하는데 귀찮으니 대부분 '로그 [math(a)]의 [math(b)]'라고 읽는다. * 실수 [math(a)], [math(b)]에 대해 [math(\log_ab)]가 실수 범위에서 값이 나오기 위해서는 [math(a \ne 1)], [math(a>0)], [math(b>0)]이라는 조건이 붙어야 한다. * 복소수 범위에서는 [math(x)]가 유일하지는 않아서 유일하게 만들려면 [math(a^x = b)]를 만족하는 [math(x)] 중 '''실수''' [math(x)] 등의 조건을 붙여야만 한다. 복소수에서는 보통은 분기를 절단하여 하나의 값을 가지게 한다. 특히 [[자연로그의 밑]] [math(e = \lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac1n\right)^n)]를 밑으로 하는 [math(\ln x)]의 경우 어떤 미적분학 교재에서는 [math(\ln x)]를 [math(\dfrac1x)]의 정적분 즉, [math(\displaystyle \ln x=\int_1^x \frac1t\,{\rm d}t~(x>0))]로 정의한다.[* [math(\displaystyle \int x^m\,{\rm d}x=\frac{x^{m+1}}{m+1}+C\,(m\ne-1))]에서 알 수 있듯이 [math(\dfrac1x)]는 [math(m=-1)]에 해당해 단항식의 적분을 적용할 수 없다.] {{{#!folding 자연로그의 성질 증명 [ 펼치기 · 접기 ] [[자연로그의 밑|자연로그의 밑 [math(e)]]]는 방정식 [math(\ln x = 1)]의 근으로 정의되며 [math(e^x)]를 [math(\ln x)]의 역함수로 정의한 뒤[* 엄밀히 말하면 [math(\ln x)]의 역함수를 [math(\exp(x))]로 정의한 뒤, [math(\exp(x) = e^x)]임을 증명한다.], 우리가 아는 로그, 지수의 성질을 증명한다. 일례로 로그의 합이 진수의 곱으로 변하는 성질은 다음과 같이 간단하게 증명할 수 있다. 정적분으로 정의된 자연로그 || [math(\displaystyle \ln x = \int_1^x\frac1t\,{\rm d}t\quad (x>0))] || 에서 실수 [math(a)]에 대해 [math(at = u)]로 치환하면 [math({\rm d}t = \dfrac1a\,{\rm d}u)]이고 적분 범위는 [math([a,\,ax])]가 되므로 || [math(\displaystyle \begin{aligned}\ln x &= \int_1^x\frac1t\,{\rm d}t \\ &= \int_a^{ax}\frac au{\cdot}\frac1a\,{\rm d}u = \int_a^{ax}\frac1u\,{\rm d}u\end{aligned})] || 즉 해당 정의식은 적분 범위를 [math(a)]배 해도 값이 같음을 알 수 있다. 이를 이용하여 || [math(\displaystyle\begin{aligned} \ln a + \ln b &= \int_1^a\frac1x\,{\rm d}x + \int_1^b\frac1x\,{\rm d}x \\ &= \int_1^a\frac1x\,{\rm d}x + \int_a^{ab}\frac1x\,{\rm d}x \\ &= \int_1^{ab}\frac1x\,{\rm d}x \\ &= \ln ab\end{aligned})] || 와 같이 증명할 수 있다. 같은 방법으로 차가 나눗셈이 되는 것도 보일 수 있고, 똑같은 치환법으로 [math(\ln x^b = b\ln x)]임을 유도할 수 있다. [math(\ln x)]의 미분은 미분의 정의식 [math(\dfrac{\rm d}{{\rm d}x}\ln x = \lim\limits_{h \to 0}\dfrac{\ln(x+h) - \ln x}h)]과 위에서 알아낸 성질들을 적절히 적용하고 [math(\ln x)]의 도함수가 [math(\dfrac1x)]임을 이용하면 [math(e)]의 정의를 얻어낼 수 있고, 이로써 [math(\displaystyle \ln e = \int_1^e\frac1x\,{\rm d}x = 1)]임을 알 수 있다. 이를 통해 [math(\ln e^x = x\ln e = x)]이며, [math(\ln x)]와 [math(e^x)] 모두 연속함수이자 증가함수로써, 일대일 대응이므로 [math(\ln x)]와 [math(e^x)]가 역함수 관계임을 알 수 있다. 따라서 반대로 [math(e^{\ln x} = x)]이다. 여기서 [math(a^x = e^{x\ln a})]이므로, [math(a^x)]의 역함수는 [math(\dfrac{\ln x}{\ln a} = \log_ax)]로 정의할 수 있다. 이 성질을 이용하면 밑변환 공식 또한 자연스럽게 보일 수 있다. }}}저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기