문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 동치관계 (문단 편집) == 동치류(equivalence class) == 동치관계가 집합 내의 원소에 대해서 정의된 것이면, 집합을 잘 변형하여 그 동치관계를 '''사실상 등호와 같은''' 것으로 볼 수 있다. 어떤 집합 [math(X)] 내의 원소에 대한 동치관계 [math(\sim)]를 생각하자. (이 때 [math(\sim)]는 '[math(X)] 위의 동치관계'라 부른다) 이 때 [math(a\in X)]의 '''동치류(equivalence class)'''는 다음 집합을 말한다. > [math(\left\{\,b:b\in X\land a\sim b\,\right\})] 나타내는 기호도 가지가지라서, [math(a)]에다가 [[다이어크리틱#s-5.5|바([math(\overline{\phantom{\cdots}})], 위에 선 긋기)]]를 써서, [math(\overline{a})]라 할 때도 있고, 대괄호를 쳐서 [math(\left[a\right])]와 같이 나타낼 때도 있고(동치관계를 제대로 나타내야 할 때에는 아래첨자로 [math(\sim)]를 쓸 때도 있다), 하여간 책 따라 저자 따라 상황 따라 제각각이라 이 동치류에 대한 기호는 조심해서 볼 필요가 있다.[* 일단 이 문서에서는 [math(\left[a\right])]와 같이 나타낸다.]([[대수학]]이나 [[위상수학]]에서 동치류가 중요한 도구 중 하나다 보니 이 기호 선정 문제가 더 불거진다.) 어떤 동치류 [math(A)]를 [math(\left[a\right])]와 같이 쓸 때, [math(a)]를 동치류 [math(A)]의 '''대표원(representative)'''라 부른다. 단, 한 동치류의 대표원은 하나가 아닌 여러개일 수 있다. 예컨대, 1반, 2반, 3반이 있고 철수가 1반이라고 하면, 철수의 동치류는 1반이다. 즉 철수는 1반의 대표원이고, 1반 = [철수]. 동치류의 모임을 '''상집합(商集合, quotient set)'''이라 부르고, (동치관계 [math(\sim)]에 의한 것을) [math(X/\sim )]로 나타낸다. 즉, > [math(X/\sim := \left\{\left[a\right] : a\in X\right\})] 와 같이 정의한다. 이 때 다음이 성립한다. > [math(a\sim b\leftrightarrow\left[a\right]=\left[b\right])](집합으로서) [* 이걸 증명하다 보면 왜 반사성, 대칭성, 추이성이 중요한 성질인지 자연스레 알 수 있다. 집합론에서만 쓰는 개념은 아니지만, 집합론에 응용했을 때 아주 편리한 개념인 것.] 여기서 [math(X)] 위에서는 [math(\sim)]라는 동치관계가 그 상집합 [math(X/\sim )] 위에서는 등호라는 동치관계로 뒤바뀐 것을 알 수 있다. 상집합 개념으로 엉성함(coarser)/섬세함(finer) 용어 선정에 대한 이유도 어느 정도 설명할 수 있는데, 가령 ~가 ≈보다 섬세하다(finer)고 가정하면 [math(X/\sim )] 과 [math(X/\thickapprox)]를 구성하는 각 동치류는, [math(X/\sim )] 쪽이 [math(X/\thickapprox)]에 비해 '''덜''' 많은 원소를 지닌다. 곧 동치류를 일종의 "자갈"로 치면 섬세한 쪽([math(X/\sim )])이 더 자잘한 "자갈"을 지니고 있는 것.[* Munkres의 Topology에서 나온 비유이다. 원래는 위상공간을 비교할 때 엉성함(coarser)/섬세함(finer)을 설명하는 과정에서 나온 비유.]저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기