문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 동치관계 (문단 편집) == 정의 == 어떤 이항관계 [math(\sim)]가 다음 세 조건을 만족시킨다고 하자. > 임의의 객체 [math(a)], [math(b)], [math(c)]에 대해, > * (반사성, Reflexive) [math(a\sim a)] > * (대칭성, Symmetric) [math(a\sim b)] 면, [math(b\sim a)]다. > * (추이성, Transitive) [math(a\sim b)]이고 [math(b\sim c)]면 [math(a\sim c)]다. 그러면 이 이항관계 [math(\sim)]를 '''동치관계'''라 부른다. 실제로 어떤 이항관계가 동치관계임을 보일 때에는 이 세 가지를 일일이 보이면 된다.-- 참 쉽죠?-- 다만, 대개는 저 3개를 일일이 보이는 작업은 엄청 귀찮거나 보일 필요도 없이 당연한 것 취급을 받는다. 대칭성이나 추이성의 증명이 생각보다 까다로울 때가 있긴 하지만, 그럴 경우 대개 정의가 어딘가 맛간 거라고 생각하는 편이 더 낫다. --반사성이 까다로울 정도면 뭔가가 심각하게 잘못된 것일 수도 있다-- 단, 이 때 동치관계가 꼭 '같은 객체다'는 의미만 지니지는 않는다. 예를 들어 한 학교에 1반, 2반, 3반이 있다고 할 때, '같은 반이다'라는 관계도 동치관계이다. (굳이 '같다'로 이 동치관계를 보고 싶다면, 학생의 여러 속성 중 소속 반만 떼어서 '같다'고 이해해도 되기는 하다....만, '같은 학생이다'는 말과는 억만광년 차이가 있다는 게 포인트.) 이 관계가 세 조건을 만족하는 지는 직접 확인해봐도 좋다.[* 수학과 논리학에서 잠시 벗어나 일상언어를 잠시 생각해보면, 대칭성을 만족시키는 관계는 생각보다 적다는 것을 알 수 있다. "'누구'는 '누구'의 여동생이다.", "'누구'는 '누구'의 아버지이다." 등등은 대칭성을 만족하지 않는다. --누구는 누구의 친구다. 누구는 누구의 가족이다. 누구는 누구의 동기다. 누구는 누구의 지연, 학연, 혈연이다.--] 수학적으로는 가장 흔하게 드는 예시는 '[[합동식|특정 수로 나눠서 나머지가 같은 수들]]'끼리 묶는 것이다. 예를 들어 1부터 10까지 정수가 모여있을 때, 3으로 나누어서 나머지가 같은 수들을 찾아보자. 나머지가 0인 수는 3, 6, 9이고, 나머지가 1인 수는 1, 4, 7, 10이고, 나머지가 2인 수는 2, 5, 8이다. 이때, '나머지가 같다'는 건 위에 나온 반사성[* 예: 4는 3으로 나누면 나머지가 1이고 4는 3으로 나누면 나머지가 1이다. 둘의 나머지는 같다. 따라서 4~4이다. 이게 다른 모든 숫자에도 적용된다.], 대칭성[* 예: 4는 3으로 나누면 나머지가 1이고 7은 3으로 나누면 나머지가 1이다. 둘의 나머지는 같다. 따라서 4~7이다. 이때 4~7이면 7~4도 성립한다. 말의 순서를 바꾸어도 성립한다는 것이며 이게 다른 모든 숫자에 대해서도 성립한다.], 추이성[* 예: 4는 3으로 나누면 나머지가 1이다. 7도 3으로 나누면 나머지가 1이다. 둘의 나머지는 같으므로 4~7이다. 7을 3으로 나누면 나머지가 1이다. 10을 3으로 나누면 나머지가 1이다. 둘의 나머지가 같으므로 7~10이다. 이때 1과 10도 3으로 나눈 나머지가 같다. 따라서 4~7이고 7~10일 때 1~10도 성립한다. 이게 다른 모든 숫자에 대해서도 성립한다.]을 모두 만족하기에 동치 관계이고, 따라서 3~6 혹은 2~8은 모두 동치관계로 연결되었다고 할 수 있다.[* 더 자세하고 엄밀한 논의는 집합 기호와 논리 기호를 사용해 이 모든 과정을 집합의 관계로 표현해야 한다. 뱀발로, 말로 서술한 반사성, 대칭성, 추이성의 검증이 같은 말 반복에 말장난처럼 보일 수도 있으나, 이러한 당연해보이는 표현마저 엄밀하게 논리적으로 성립함을 따져나가는 게 핵심이다. 그리고 보다 추상적인 대상을 다루게 되면 반사성, 대칭성, 추이성을 따지는 게 더이상 당연한 말 반복으로 보이지 않게 된다. 나머지가 같은 걸로 묶는 게 굉장히 간단한 예라서 그 관계가 당연해보였을 뿐.] 이때 3과 6이 동일한 수는 아니지만 엄연한 동치관계(3~6)이다. 위에서도 언급했듯이 '질적으로 같은 것'(여기서는 나머지가 같다는 특징)이지, 객체가 동일함을 가리키진 않는 것이다.[* 물론 객체가 반드시 동일할 필요가 없을 뿐, 객체가 동일한 것도 동치관계의 일부이다. 수학적 표현을 쓰자면 임의의 집합 X위에서 정의된(엄밀히는 X×X에 속하는) R={(x, x)|x는 X의 원소}라는 관계는 자기자신에게만 성립하는 동치관계이다. 즉, X가 1부터 5까지의 정수라면, 해당 동치관계는 (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), 이 다섯 개를 원소로 가지며, 따라서 1~1, 2~2, 3~3, 4~4, 5~5 라는 동치관계가 성립한다. 여기서 이 동치관계가 서술하는 것은 '객체가 같다'는 것에 다름없다. 즉, '객체가 같다'는 건 동치관계의 일부이며, 수학적으로는 가장 작은 동치관계이다.]저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기