문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 다항함수/공식 (문단 편집) ==== 세 극점을 지나는 포물선 ==== [[파일:사차함수방정식.png|width=200&align=center]] 사차함수 [math(f(x))]의 그래프가 극점을 세 개 가질 때 {{{#!wiki style="text-align: center" [math(f(x)=f'(x)Q(x)+R(x))]}}} 라 하여 [math(f(x))]를 도함수 [math(f'(x))]로 나눈 몫을 [math(Q(x))], 나머지를 [math(R(x))]라 하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [math(y=R(x))]}}} 는 '''곡선 [math(\boldsymbol{f(x)})]의 세 극점을 지나는 포물선의 방정식이다.''' {{{#!folding 증명 [펼치기·접기] ---- [math(f(x))]가 사차함수이므로 도함수 [math(f'(x))]는 삼차식이며, 이에 따라 [math(Q(x))]는 일차식, [math(R(x))]는 이차 이하의 다항식이어야 한다. 곧, 다음과 같이 쓸 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\begin{aligned}R(x)&=ax^2+bx+c\\f(x)&=f'(x)Q(x)+ax^2+bx+c\end{aligned})]}}} 한편 [math(\alpha)], [math(\beta)], [math(\gamma)]를 곡선 [math(f(x))]의 세 극점의 [math(x)]좌표라 하면 [math(f'(\alpha)=f'(\beta)=f'(\gamma)=0)]이다. 따라서 [math(x=\alpha)], [math(x=\beta)], [math(x=\gamma)]를 위 식에 대입하면 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\begin{aligned}f(\alpha)&=f'(\alpha)Q(\alpha)+a\alpha^2+b\alpha+c=a\alpha^2+b\alpha+c\\f(\beta)&=f'(\beta)Q(\beta)+a\beta^2+b\beta+c=a\beta^2+b\beta+c\\f(\gamma)&=f'(\gamma)Q(\gamma)+a\gamma^2+b\gamma+c=a\gamma^2+b\gamma+c\end{aligned})]}}} 이 세 식은 결국 [math(x=\alpha)], [math(x=\beta)], [math(x=\gamma)]가 방정식 {{{#!wiki style="text-align: center" [math(f(x)=R(x))]}}} 의 서로 다른 실근이라는 뜻이므로 [math(R(x))]는 정확히 곡선 [math(f(x))]의 세 극점 [math((\alpha,\,f(\alpha)))], [math((\beta,\,f(\beta)))], [math((\gamma,\,f(\gamma)))]를 지난다. 한편 [math(a=0)]이면 [math(R(x))]는 일차식이므로 곡선 [math(f(x))]의 세 극점은 한 직선 위에 있어야 하는데 이는 불가능하다. 따라서 [math(a\neq 0)]이고, [math(R(x))]는 이차식, 곧 포물선의 방정식이다. ---- }}} [[파일:사차함수방정식4.png|width=400&align=center]] 또한, 위 그림과 같이 기하학적으로 [math(f(x))]와 [math(R(x))]는 최고차항의 계수의 부호가 서로 반대일 수밖에 없다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기