문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 다항식 (문단 편집) == [[대수학]]에서 다항식의 성질 == 고교과정 이내에서 쓰이는 다항식의 성질은 다음이 있다. 의외로 엄밀한 증명이 쉽지만은 않아서, 암묵적으로 사용되는 경우가 대부분이다. 다항식의 계수가 유리수, 실수, 복소수 등일 때 다음이 성립한다. * 덧셈, 뺄셈, 곱셈에 대하여 닫혀 있고 통상적인 [[결합법칙]], [[교환법칙]], [[분배법칙]] 등을 만족시킨다. 나눗셈에 대해서는 닫혀 있지 않다. ('정의되어 있지 않다'가 FM이다.)[* 무엇보다도 대부분 다항식의 나눗셈이 다항식의 사칙연산 법칙 중에서도 가장 어려워서 일일이 뺄셈을 하는데만 칠판을 가득 채울 정도다.] * 영인자는 존재하지 않는다. 즉 [math(fg =0)]이면 [math(f=0)] 또는 [math(g=0)]이다.[* 대수학에서는 이런 성질을 만족하는 집합을 정역(integral domain)이라 한다.] * (이하 일변수 다항식에 한해서) 몫과 나머지가 있는 나눗셈을 할 수 있다. 고교과정에서 [[나눗셈 정리]]라는 내용으로 소개되는 내용이다. * [[인수분해]]를 유일하게 할 수 있다. * 단 여기서 '유일하게'의 기준은, 각각의 인수가 상수배만큼 차이나는 것은 같은 인수분해로 취급한다. [math(-3xy)]는 [math((-3x) \cdot y)]로 분해하냐 [math(x \cdot (-3y))]로 분해하냐 하나로 정할 수가 없기 때문이다. 그래서 보통은 "체 [math(F)]상에서 주어진 다항식 [math(f(x)(\in F\left[x\right]))]는 단원[* [[환(대수학)|환]]에서 곱셈역원을 가지는 원소를 모아놓은 것. 정수환에서는 [math(\pm 1)]이며, [[가우스 정수]]환에서는 [math(\pm i, \pm 1)] 뿐이지만, 유리수 이상으로 확장될 경우는 해당 유리수군/실수군/복소수군에서 0을 제외한 모든 원소의 집합이 된다. 정수계수 다항식환에서는 정수환과 동일한 [math(\pm 1)], 그 이상으로 확장된 수 체계의 다항식환에서는 차수가 0인 모든 상수 다항식이 된다.]과 [math(F\left[x\right])]상의 기약 다항식의 곱으로 인수분해할 수 있으며, 이 때 [math(f(x))]의 기약다항식 인수는 재배열의 순서, 그리고 선택한 단원의 차이를 무시하면 유일하다"라는 문장을 쓰는 편이다. 또한 다항식의 계수 범위에 따라 인수분해의 꼴이 바뀌기 때문에(실수 위에서는 [math(x^2+1)]이 더 분해되지 않지만 복소수 위에서는 [math((x+i)(x-i))]로 인수분해된다), 계수 집합을 확실히 정해 놓아야 한다. * 두 다항식의 [[최대공약수]]와 [[최소공배수]]가 유일하게 존재한다. [* 역시 상수배만큼 차이나는 건 같은 걸로 취급한다. 보통 모닉다항식(최고차항의 계수가 1인 다항식)으로 한정하면 유일해진다.] * 유리식의 성질인 [[부분분수분해]]도 다항식의 성질에서 파생된 것으로 볼 수 있다. 이것들이 대학교 현대대수학에서 일반적인 계수로 넘어오면 다음처럼 일반화된다. 또한, 현대대수학에서는 다항식에 들어가는 미지수를 변수(variable)가 아니라 부정원(indeterminate)[* 말 그대로 정해지지 않은/결정되지 않은 항목. 이라는 의미. 변수와 다를 바 없어 보이지만, 엄밀한 수학적 정의로는 약간의 차이가 존재한다. 정확하게는 부정원은 수학명제를 서술하기 위해 사용되는 도구이며, 변수는 주어진 집합(보통은 실수나 복소수집합)의 원소(수)를 대표하는 기호다. 따라서 부정원은 엄밀하게는 '''수가 아니라 기호'''이므로 이것 자체로는 계산할 수 없으며, 변수는 반대로 '''기호의 탈을 쓴 수'''이므로 임의의 변수 값을 대입하여 계산할 수 있다. 부정원을 변수처럼 [math(x,y,z)]등으로 표기하는 것은 그저 표기상이나 계산상의 편의를 위한 것이며, 실제로는 전혀 다른 개념이다. 체 [math(F)]가 체 [math(E)]의 부분체이며, [math(F\left[x\right])]를 체 [math(F)]상에서 주어진 다항식환이라고 하자.[br][math(\alpha \in E)]일 때, [math(x)]를 부정원이라고 두면, 다음과 같은 [[범함수]]를 정의할 수 있다.[br]함수 [math(\phi_{\alpha}:F\left[x\right]\to E)]가 [math(f(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n} \in F\left[x\right])]일 때, [math(\phi_{\alpha}\left(f(x)\right)=\phi_{\alpha}\left(a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n}\right)=a_{0}+a_{1}\alpha+\cdots+a_{n}\alpha^{n})]라는 함수 [math(\phi_{x})]를 정의하면 준동형사상이 되는데, 이 함수를 별도로 '''[math(\alpha)]에서의 대입 준동형사상'''이라고 하며, 이는 부정원을 변수로 치환하여 계산하는데 중요한 역할을 하는 준동형사상이다. 변수와 부정원이 같은거라면 이런 준동형사상을 생각할 필요가 없다.]이라 부르며 별개로 보는 관점이 대부분이다. 가환[[환(대수학)|환]] [math(R)]에 대해 * [math(R[x])]는 당연히 가환환이다. * [math(R[x])]가 정역일 필요충분조건은 [math(R)]도 정역인 것이다. * [math(R)]이 체이면 [math(R[x])]에선 나눗셈을 생각할 수 있고 유클리드 정역(Euclidean domain)이 된다. 따라서 ED->PID->UFD의 [[상하관계]]에 의해서 [[최대공약수]]가 존재하고 유일[[인수분해]]가 가능하다. * 하지만 [math(R)]이 체가 아니면 [math(R[x])]는 PID도 되지 못하고, 나눗셈을 생각할 수 없다. 당장에 정수계수 위에서만 봐도 [math(x^2 +1)]을 [math(2x+1)]로 나눌 수는 없으니. * [math(R)]이 UFD이면 [math(R[x])]도 UFD이다. 이것 때문에 의외로 [math(\mathbb{Z}[x,y])] 같은 애들이 나눗셈은 택도 없지만 인수분해는 유일하게 된다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기