문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 내적 (문단 편집) == 힐베르트 공간 == 내적공간 [math(V)]가 아래 성질을 만족시키면, '''힐베르트 공간''' (Hilbert space) 이라고 한다. > * (완비성) [math(V)]의 임의의 코시수열 [math(a_n)]이 [math(V)]내의 한 점으로 수렴한다. 코시수열과 수렴성을 다루기 위해서는 벡터간의 거리가 정의되어야 하는데, 이 때 바로 위에서 언급한 '유도된 노름'을 사용한다. 유클리드 공간은 항상 완비성을 충족하고 내적공간은 (유도된 노름에 의해) 노름공간이므로, 유클리드 공간은 항상 힐베르트 공간이다. 힐베르트 공간은 무한차원 내적공간을 우리가 익숙한 유클리드 공간과 유사하게 다루기 위해 도입한 개념이다. 집합 [math(L_2[-1, 1])]을 폐구간 [math([-1, 1])]에서의 [math(L_2)]-실함수들, 즉 제곱을 적분한 게 유한값을 갖는 함수들의 집합이라고 하자. 이 공간에서의 내적을 [math(\displaystyle \langle f, g\rangle = \int_0^1 f(x)g(x) \,{\rm d}x)] 라고 정의하면 [math(L_2[-1, 1])]는 힐베르트 공간이 된다. 이와 같은 사실을 증명하는 과정에서 [[르베그 적분]]의 정의가 사용된다. [[리만 적분]]의 정의로는 위와 같은 내적으로 정의된 공간이 완비성을 가진다는 사실을 증명할 수 없다. 내적공간이지만 힐베르트 공간이 아닌 예가 존재한다. [math(L_2[-1, 1])] 공간의 부분집합 [math(C[-1, 1])], 즉 [math([-1, 1])]에서 연속인 함수들의 집합에서 동일한 내적을 정의하면, 이 공간은 내적공간이 되지만 완비성을 만족시키지 않는다. 불연속함수로 수렴하는 연속함수 코시수열이 존재하기 때문.[* 예컨대, 함수열 [math(f_n(x)= \max\lbrace 0, nx\rbrace)]를 생각해보자. 이 함수열은 코시수열이고 수렴은 하긴 하는데 그 극한이 [[계단(동음이의어)#s-6|계단함수]], 즉 '''불'''연속함수다.]저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기