문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 기하학 (문단 편집) === 공리적인 접근 === 사실 가장 역사가 오래된 영역으로 다른 기하학 과목과 구별해서 [[논증 기하학]](Logic Geometry)이라고 한다. * 평행선 공준 - 두 직선이 하나의 직선과 만날 때 같은 쪽에 있는 두 내각의 합이 180도 보다 작으면, 두 직선을 '''무한히''' 연장했을 때 반드시 그쪽에서 만난다. 유클리드의 다섯 번째 공준은 다른 수학자들이 보기에는 '''무한히''' 연장이라는 표현으로 인해 직관적이지 못 하기 때문에, 그 전에 언급한 네 개의 공준을 통해 증명 될 것으로 보았다. 하지만 수많은 수학자가 도전했으나, 평행선 공준의 증명은 나타나지 않았다. 다만 그와 동치인 명제만이 여럿 발견되었다. 가장 유명한 것은 플레이페어가 발견한 것으로 "한 직선과 평행이고 그 직선 위에 있지 않은 한 점을 지나는 직선은 하나뿐이다." 설명을 쉽게 하려는 기하학 책에서는 오히려 이것을 평행선 공준이라고 서술해 놓은 것도 있다. 유클리드 제5공준은 설명이 너무 비직관적이고 어렵기 때문. 다른 예들은 "삼각형의 내각의 합은 두 직각(180도)과 같다." 같은 것들이 있으며 평행선 공준을 사용하지 않으면 "삼각형의 내각의 합은 180도 보다 작거나 같다"고 증명[* 귀류법을 쓴다. 내각의 합이 180도 보다 큰 삼각형이 존재한다고 가정한 후에 모순을 찾음.]할 수는 있지만 180도라는 증명은 불가능했다. 보여이, 로바체프스키, 가우스와 같은 수학자는 평행선 공준이 성립하지 않는다고[* 한 직선과 평행이고 그 직선 위에 있지 않은 한 점을 지나는 직선은 두 개 이상 존재한다, 또는 이러한 직선은 존재하지 않는다.] 가정하고, 다른 유클리드의 공리들은 유지하며 논리를 전개해본 결과 전혀 모순이 없다는 것을 발견했다.[* 가우스는 유클리드 제5공준을 빼도 기하학이 성립한다는 것을 발견했지만, 그걸 발표하면 "무지몽매한 자들의 짹짹거림"에 시달릴 것이 두려워 발표하지 않았다고. 사실 [[아이작 뉴턴]]도 프린키피아를 라틴어와 논증기하로 떡칠(비록 라틴어나 논증기하로 증명하는 것은 당시에 자주들 했지만)해서 쓴 이유가 잡놈들이 조금 안다고 설치는 꼴이 보기 싫어서라는 얘기도 있고, 쉽게 설명하는 것을 즐기던, 혹은 그것이 진정으로 현상을 이해하는 길이라 여기던 [[리처드 파인만]]도 당시 철학자들이 [[상대성 이론]] 가지고 삽질하는 꼴을 보고 빡쳤던 것을 보면 꼭 소심해서 그런 거라고 하기엔 씁쓸한 감이 있다.][* 실제로 [[보여이 야노시]]라는 수학자가 제 5공준을 바꿔서 생각해서도 모순이 없는 공간을 만들 수 있다는 걸 발견한 후 그의 아버지의 친구인 가우스에게 편지를 보내서 자랑했지만, 가우스는 이미 그것을 알고 있었고, 보여이는 낙심하게 된다. 게다가, 로바체프스키가 이미 3년 전에 그와 일치되는 내용을 발표했다.] 후에 리만이 리만기하학을 완성하고 클라인을 거쳐 [[비유클리드 기하학]]이 정립된다. 이렇게 공리를 통해 기하학 원리를 탐구하는 방식은 수학자 힐베르트가 칸토어의 집합론을 이용해 공리적 기하학(Axiomatic Geometry)으로 완성된다.[* 공리적 기하는 유한한 점과 선으로 이루어진 공간이라든지, 다른 공리를 이용할 때 등장할 수 있는 공간 등에 대해서 연구한다.] 수학사적으로 봐서도 이 평행선 공준에 대한 논란은 수리철학적으로 큰 의미를 갖는데, 평행성 공준이 성립하지 않는 비유클리드 기하학과 함께 나중에는 칸토르의 집합론에 의해 유클리드의 제5공리(전체는 부분 보다 크다)가 성립하지 않을 수도 있음(정수는 자연수보다 크지만 크기는 같다)이 알려졌다. 그렇다면 "절대적으로 참인 수학적인 원리가 존재할까?"라는 본질적인 물음이 나왔는데 여기에 '절대주의' 수리철학은 수학적 지식은 절대적으로 확실한 진리라고 보는 관점으로, 주요한 관심사는 수학적 진리의 안전한 기초를 확립하는 것이었다. 그래서 논리주의는 수학을 논리로 환원하여 논리 위에 세우고자 하였다. 직관주의는 직관으로 인해 기본적인 수학적인 개념과 정리가 자명하게 되는 것이라고 주장하였다. 형식주의는 정해진 규칙에 따라 이루어지는 일종의 체계라고 보았다. 수학의 기초를 확립하려는 시도가 만족스럽지 않게 된 이후, 수학의 절대성에 의문을 던지게 되었으며, [[불완전성 정리]]에 의해 '완전한 수학체계'란 존재하지 않는다고 결론이 났다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기