문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 기본군 (문단 편집) == 성질 == 기본군의 정의를 생각해 보면, 기본군은 위상공간 [math(X)]뿐만 아니라 기준점이 될 [math(x_0 \in X)]에도 의존함을 알 수 있다. 그렇기 때문에 단순히 [math(\pi_1(X))]가 아닌 [math(\pi_1(X, x_0))]의 표현을 써야 하는데, 이는 상당히 거추장스럽다. 다행스럽게도, 다음 명제에 의해 경로연결공간 한정으로 이를 무시할 수가 있다. ||<(> '''[ 명제 ]''' 주어진 경로연결 위상공간 [math(X)]와 두 점 [math(x_0, x_1 \in X)]을 생각하자. [math(X)]가 경로연결이므로, 적당한 경로 [math(h: I \to X)]에 가 존재하여 [math(h(0) = x_0)], [math(h(1) = x_1)]이 성립한다. 이제 시작점을 [math(x_1)]로 하는 회로 [math(f)]에 대해 경로의 곱 [math(h \cdot f \cdot \bar h)]를 생각할 수 있고, 이는 시작점이 [math(x_0)]인 회로가 된다. 즉, 다음과 같은 함수 [math(\beta_h: \pi_1(X, x_1) \to \pi_1(X, x_0))]를 생각할 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\beta_h([f]) = [h \cdot f \cdot \bar h])]}}} 이 때, [math(\beta_h)]는 두 기본군 [math(\pi_1(X, x_1))], [math(\pi_1(X, x_0))]사이의 동형사상이다. ---- {{{#!folding [ 증명 ] * [math(\beta_h)]는 두 군 [math(\pi_1(X, x_1))], [math(\pi_1(X, x_0))]사이의 준동형사상이다. 실제로, [math([f], [g] \in \pi_1(X, x_1))]일 때, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\begin{aligned} \beta_h([f] \cdot [g]) & = [h \cdot (f \cdot g) \cdot \bar h] \\ & = [h \cdot f \cdot (\bar h \cdot h) \cdot g \cdot \bar h] \\ & = [h \cdot f \cdot \bar h] \cdot [h \cdot g \cdot \bar h] \\ & = \beta_h([f]) \cdot \beta_h([g]) \end{aligned})]}}} 이므로 [math(\beta_h: \pi_1(X, x_1) \to \pi_1(X, x_0))]는 준동형사상이 된다. * [math(\beta_h)]는 전사함수이다. 임의의 [math([f] \in \pi_1(X, x_0))]에 대하여, [math([\bar h \cdot f \cdot h] \in \pi_1(X, x_1))]이고 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\begin{aligned} \beta_h([\bar h \cdot f \cdot h]) & = [h \cdot (\bar h \cdot f \cdot h) \cdot \bar h] \\ & = [(h \cdot \bar h) \cdot f \cdot (h \cdot \bar h) ] \\ & = [f] \end{aligned})]}}} 이므로 [math(\beta_h: \pi_1(X, x_1) \to \pi_1(X, x_0))]는 전사함수이다. * [math(\beta_h)]는 단사함수이다. 두 [math([f], [g] \in \pi_1(X, x_0))]가 [math(\beta_h([f]) = \beta_h([g]))]를 만족한다면 [math([h \cdot f \cdot \bar h] = [h \cdot g \cdot \bar h])]이고, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\begin{aligned} [f] & = [(\bar h \cdot h) \cdot f \cdot (\bar h \cdot h) ] \\ & = [\bar h \cdot (h \cdot f \cdot \bar h) \cdot h] \\ & = [\bar h \cdot (h \cdot g \cdot \bar h) \cdot h] \\ & = [(\bar h \cdot h) \cdot g \cdot (\bar h \cdot h) ] = [g] \end{aligned})]}}} 이므로 [math(\beta_h: \pi_1(X, x_1) \to \pi_1(X, x_0))]는 단사함수가 된다.□}}} || 이 명제로부터, 경로연결 위상공간 [math(X)]의 기본군은 시작점을 정하지 않아도 up to isomorphism 유일함을 알 수 있다. 따라서 굳이 기본군의 시작점을 표시할 필요가 없거나, 언급하지 않아도 당연한 경우 [math(\pi_1(X, x_0))]대신 [math(\pi_1(X))]의 표현도 사용한다. 한편 회로 자체가 연속함수이므로, 연속함수와 회로의 합성을 떠올리는 것은 자연스럽다. 그런데 이 연속함수는 (그 자연스러운 합성에 의해) 기본군에 작용하는데, 다음 정의는 그 작용이 기본군 사이의 준동형사상(homomorphism)이 됨을 알려준다. ||<(> '''[ 정의 ]''' 유도 준동형사상(Induced homomorphism) ---- 두 위상공간 [math(X)], [math(Y)] 사이에 정의된 연속함수이면서, [math(y_0 = \varphi(x_0))]인 [math(\varphi: (X, x_0) \to (Y, y_0))]를 생각하자. 이 [math(\varphi)]로부터 기본군 사이의 준동형사상 [math(\varphi_*: \pi_1(X, x_0) \to \pi_1(Y, y_0))]가 다음과 같이 자연스럽게 유도된다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\varphi_*([f]) = [\varphi \circ f] = [\varphi f])]}}} 이 [math(\varphi_*)]를 두 기본군 [math(\pi_1(X, x_0))], [math(\pi_1(Y, y_0))]사이의 '''유도 준동형사상(Induced homomorphism)'''이라고 정의한다. || 우선 우리가 정의한 사상 [math(\varphi_*)]의 Well-definedness를 확인해 주어야 한다. * [math(f: I \to X)]가 [math(f(0) = f(1) = x_0)]인 회로라면, [math(\varphi f: I \to Y)] 역시 회로로서 [math(\varphi f(0) = \varphi f(1) = y_0)]이 성립함은 거의 당연하다. * [math([f] = [g])]이면 두 회로 [math(f)]와 [math(g)]사이의 연속변형 [math(H_t: I \to X)]이 존재함을 의미한다. 이 때 [math(\varphi H_t: I \to Y)]는 [math(Y)]의 두 회로 [math(\varphi f)]와 [math(\varphi g)]사이의 연속변형이므로, [math([\varphi f] = [\varphi g])]. 이렇게 [math(\varphi_*)]가 잘 정의됨을 확인했고, [math(f_1, f_2: I \to X)]가 [math(X)]의 두 회로라면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\begin{aligned} \varphi_*([f_1] \cdot [f_2]) & = [\varphi (f_1 \cdot f_2) ] \\ & = [\varphi f_1 \cdot \varphi f_2] \\ & = [\varphi f_1] \cdot [\varphi f_2] \\ & = \varphi_*([f_1]) \cdot \varphi_*([f_2]) \end{aligned})]}}} 이므로 [math(\varphi_*)]가 준동형사상임을 확인할 수 있다. ||<(> '''[ 명제 ]''' [math((X, x_0) \xrightarrow{\psi} (Y, y_0) \xrightarrow{\varphi} (Z, z_0))]일 때, * [math(\pi_1(X, x_0) \xrightarrow{\psi_*} \pi_1(Y, y_0) \xrightarrow{\varphi_*} \pi_1(Z, z_0))]로서 [math((\varphi \psi)_* = \varphi_* \psi_*)]. * [math((\text{id}_X)_* = \text{id}_{\pi_1(X, x_0)})]. ---- {{{#!folding [ 증명 ] 두 명제 모두 정의로부터 바로 도출된다. 그래도 적어보자면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math([(\varphi \psi )f] = [\varphi (\psi f) ])]}}} 으로부터 첫 번째 명제가, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math([\text{id}_X f] = [f] = \text{id}_{\pi_1(X, x_0)}([f]))]}}} 에서 두 번째 명제가 증명된다.□}}} ||저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기