문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 가환대수학 (문단 편집) == 크기 == [math(R)]-module [math(M)]가 finitely generated란 것을 적당한 finite set [math(I)]과 surjective map [math( R^I\to M\to 0 )]가 있는 것으로 정의하고, [math(M)]이 finitely presented라는 것은 적당한 finite set [math(I_0,I_1)]가 있어서 [math(R^{I_1}\to R^{I_0}\to M\to 0)] 라는 exact sequence가 존재하는 것으로 정의하자. 이는 free resolution에서 각각 1,2번째까지만 뽑아온 것이다. 그리고 finitely generated module [math(M)]에서 [math(\{s_i\}\subseteq M)]가 [math(s_j=\sum_{i\ne j} a_is_j)] 꼴이 아니고 모든 [math(x\in M)]가 [math(\{s_i\})]의 linear combination으로 표현할 수 있을 때 [math(\{s_i\})]를 [math(M)]의 generator라고 하고 이런 generator의 갯수의 최소를 [math(M)]의 rank라고 한다. [math(M)]의 rank가 0일 때를 보자. 당연히 vector space일 땐 [math(M=0)]밖에 없지만, module의 세계에선 여기에서도 의미있는 module이 나온다. 먼저 [math(M)]은 [math(R\to M\to 0)] 란 surjection이 존재하며 이것은 injection이 될 수 없고 따라서 다음 꼴로 쓰일 수 있다. [math(M=R/I)] 여기에서 [math(I)]는 [math(R)]의 ideal이다. 그리고 [math(I)]가 maximal ideal일 때 [math(M)]을 simple [math(R)]-module이라고 부르자.[* [math(R)]이 group ring일 때 바로 irreducible reprsentation이라고 부르는 것이다.] finitely generated free module은 선형대수의 finite dimensional vector space에 대응된다고 생각할 수 있다. finitely generated free module에서 basis는 finite set이 되도록 잡을 수 있는데, infinite set [math(I)]와 적당한 자연수 [math(n)]에 대해서 [math(p:R^n\to R^I\to 0)] 이란 surjection이 있다면 [math([i]\in I)]의 inverse image의 원소들을 하나씩 뽑아서 [math(R^n)]의 basis로 표현하고 나누기 없는 가우스 소거법으로 쉽게 모순을 만들 수 있다. 우습게 들릴 수도 있겠지만, finitely generated free module의 submodule은 finitely generated가 아닐 수도 있다. 예를 들어서 자명하게 자기 자신은 finitely generated free [math(R)]-module이지만 [math(R=\mathbb{C}[x_0,x_1,x_2,\cdots,])] 를 생각하고 [math(M=\mathbb{C}[x_1,x_2,\cdots])]를 생각하면 된다. 또는 정수론에서 중요한 예제로는 [math(p)]가 소수일 때 [math(\mathbb{Q}\left(p^{\frac{1}{p^{\infty}}}\right))]의 ring of integers 자기 자신이 있다.[* 여기에서 [math(\mathbb{Q})]를 [math(\mathbb{Q}_p)]로 바꾸고 completion을 취하면 그 유명한 피터 숄츠의 perfectoid field가 나오며 이런 말도 안 될 것 같은 성질은 신기하게도 perfectoid field 성질의 central role로 작용한다.] 사실 finitely presented가 아니면서 finitely generated모든 module은 이 예제가 될 수 있다. 이제 [math(R)]-module [math(M)]이 noetherian이란 것을 [math(M)]의 모든 submodule이 finitely generated일 때를 말한다고 생각하자. 그러면 당연히 noetherian이면 finitely presented고 [math(M\to N)] 란 surjection이 있을 때 [math(M)]이 noetherian이면 [math(N)]도 noetherian이고 [math(M,N)]이 noetherian이면 [math(M\times N)]도 noetherian이고 특히 [math(R)] 자기 자신이 noetherian이라면 모든 자연수 [math(n)]에 대해서 [math(R^n)]이 noetherian이므로 모든 finitely generated [math(R)]-module은 noetherian이 된다. 그래서 특히 자기 자신이 noetherian module인 ring을 noetherian ring이라고 부르자. [* 많은 경우, ring을 noetherian이라고 가정한다. noetherian이 아닌 ring은 정말로 특수한 경우 뿐이기 때문이다.] 이제 [math(R)]이 noetherian이고 field가 아닐 때 [math(R/I)]꼴들을 볼 텐데, [math(I)]의 chain [math(I\subseteq I_1\subseteq I_2\subseteq \cdots \subseteq I_n=R)] 의 최대 길이 [math(n)]을 [math(R/I)]의 length라고 정의하자. [math(R)]가 artinian ring이란 것을 최대로 ideal들 [math((0)=I_0\subseteq I_1\subseteq I_2\cdots \subseteq I_n=R)] 을 늘려도 그 길이가 유한인 것으로 정의한다. 그러면 [math(R)] 자기 자신은 noetherian이 되며, 바로 위의 최대 길이는 [math(R=R/(0))]의 length가 된다. field가 아닌 artinian ring은 반드시 0이 아닌 zero divisor를 포함한다. 이는 대수기하의 intersection theory에서 정말로 중요하게 쓰인다.[* divisor 앞에 붙은 계수는 사실 local ring의 length다.]저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기