문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 가환대수학 (문단 편집) == 자유 가군, 사영 가군, 평탄 가군 (Free module, Projective module and flat module) == 우리는 [math(R)]가 ring이고 [math(M)]가 [math(R)]-module일 때 [math(M)]가 free module이란 것을 적당한 [math(\{e_i\}_{i\in I}\subseteq M)]가 있어서 모든 [math(x\in M)]는 적당한 finite subset [math(I'\subseteq I)]와 [math(\{a_i\}_{i\in I'}\subseteq R)]가 '''유일하게''' 있어서 [math( x=\sum_{i\in I'}a_i e_i)] 일 때를 말한다. 그리고 이 때 [math(\{e_i\})]를 [math(M)]의 '''기저(basis)'''라고 부르자. 이것은 복잡하게 생각할 필요가 없다. 그냥 적당한 집합 [math(I)]에 대해서 [math(M=R^I)]꼴인 module일 뿐이다. 그리고 [math(M)]이 free가 아니어도 되는 아무 module일 때 [math(M)]의 underlying set을 생각한 M^M를 생각할 수 있고 [math(p:M^M\to M)] 를 [math(\sum a_i [x_i]\mapsto \sum a_i x_i)]로 생각한다면 모든 module은 free module에서 오는 surjection이 있단 결과를 얻게 된다. 이를 일반화하자. set I_0이 있어서 [math(R^{I_0}\to N\to 0)]란 surjection이 있다면 이것의 kernel을 생각할 수 있고 [math(0\to K\to R^{I_0}\to N\to 0)] 와 같이 쓸 수 있다. 그리고 [math(K)]에게도 적당한 set [math(I_1)]가 있어서 surjection이 있으므로 우리는 [math( R^{I_1}\to R_{I_0}\to N\to 0)] 와 같은 exact sequence를 만들 수 있다. 이를 반복해서, 다음과 같은 exact sequence를 만들었다고 생각하자. [math( \cdots \to R^{I_n}\to \cdots \to R^{I_1}\to R^{I_0}\to N\to 0)] 이를 free resolution이라고 한다. 여기에 [math(\mathrm{Hom}_R(-,M))] 라는 Hom functor를 씌워주자. 해당 함자는 left exact functor이므로 그 결과값을 다음과 같이 쓸 수 있다. [math( 0\to \mathrm{Hom}(R^{I_0},M)\to \mathrm{Hom}(R^{I_1},M)\to \cdots)] 이제 여기서 맨 앞을 0번째라고 하고 i번째 [math(\to )]에 [math(\mathrm{d}_i)]란 이름을 붙힌다면 [math(\mathrm{Ext}^i_R(N,M):=\mathrm{Ker}\,d_{i+1}/\mathrm{Im}\,d_i)] 라고 정의할 수 있다. 이는 [math(I_i)]들의 선택에 전혀 영향을 받지 않음을 증명할 수 있다. 특히 [math(i=0)]일 때 [math(\mathrm{Ext}^0_R(N,M)=\mathrm{Hom}_R(N,M))] 가 된다. 반대로 저 free resolution에다가 [math(-\otimes_R M)] 이라는 functor를 취해주면 [math(\cdots \to R^{I_1}\otimes_R M\to R^{I_0}\otimes_R M\to 0)] 을 만들 수 있으며 이것의 i-th homology를 [math( \mathrm{Tor}^R_i(N,M))]라고 쓰자. 이것 역시 free resolution의 선택에 대해서 독립이다. 앞으로 우리는 간단하게 [math(I)]가 finite set이고 그 원소의 갯수가 [math(n)]일 때 [math(R^I=R^n)] 라고 쓰자. 서로 다른 두 자연수 (또는 집합론에 나오는 두 cardinal) [math(m,n)]에 대해서 [math(R^m\ne R^n)]다. 이는 vector space에서 증명할 때처럼 한다.[* 가우스 소거법을 쓴다. 여기에서 주의할 점은 '''나누기'''가 안 된다는 점이다. 하지만 이 점은 free module이라는 점때문에 걱정하지 않아도 된다.] 선형대수학을 처음 시작할 때 나오는 가장 중요한 결과들 중 하나는 이것이다. > [math( k)]가 field일 때 모든 [math(k)]-module은 free module이다.[* 참고로 위에 나온 free module의 정의에 따라, 이는 모든 벡터공간에는 기저가 존재한다는 것과 동치라는 것을 쉽게 알 수 있다.] 하지만 이것은 module로 올라가면 더 이상 성립하지 않는다. 당장 [math(\mathbb{Z})]-module만 해도 \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}란 반례가 존재한다. 우리는 projective module을 정의할 수 있다. 선형대수에서, vector space를 둘로 나누는 것은 정말로 흔한 일이다. 이 때 우리는 이렇게 '''나눌 수 있는''' module을 projective module이라고 할 것이다. 정확힌 >free module [math(M)]과 다른 module [math(N)]이 있어서 [math(P\times N=M)]일 수 있는 [math(R)]-module [math(P)] 를 projective module이라고 할 것이다. 그렇다면 우리에겐 [math(P)]에게 두 가지 morphism이 있단 걸 알 수 있다. [math(i:P\to M)] [math(p:M\to P)] 선형대수를 할 때의 우리 직관대로라면 어떤 vector space 안에 들어 있는 vector space엔 projection이 반드시 있고, 그 projection이 바로 두번째다. 그리고 이는 [math(p\circ i=\mathrm{id}_P)]가 성립하기도 한다. 따라서 우리는 다음과 같이 projective module의 정의를 바꿀 수 있다. > surjection [math(M\to P)]가 있으면 적당한 injection [math(i:P\to M)]가 있어서 [math(p\circ i=\mathrm{id}_P)] 이것의 증명은 먼저 [math(M)]가 free module이라고 가정해도 되는데, 적당한 set이 있어서 [math(p':R^I\to M)]란 surjection이 언제나 존재하기 때문이다. 그리고 위에서 이미 했듯 projective module에겐 이미 이를 만족하는 free module이 정의로 하나 존재하고, 두 free module 사이엔 injection이나 surjection이 반드시 존재하므로 증명이 끝난다. 놀라운 결과들 중 하나는 이것이다. > [math(P)]가 projective [math(R)]-module이란 것은 [math(\mathrm{Hom}_R(P,-):\mathrm{Mod}_R\to \mathrm{Mod}_R)]가 exact functor인 것이다. 이미 Hom functor는 left exact functor이므로 우리는 다음을 증명하면 된다. > surjection [math(p:M\to N)]와 아무 morphism [math(f:P\to N)]에 대해서 적당한 [math(f':P\to M)]가 있어서 [math(p\circ f'=f)]인 것과 [math(P)]가 projective인 것은 동치다. 그리고 이것은 이 성질을 free module이 만족함을 보이고 [math(P\to R^{I}\to P\to M)] 이란 diagram을 만들면 증명이 끝난다. 여기에서 [math(R^I\to P)]는 surjection이고 [math(P\to R^I)]는 projective module의 성질로 만들어지는 injection이다. 그리고 이것으로 얻을 수 있는 또 한 가지의 결과가 있는데 > [math(P)]가 projective [math(R)]-module이란 것은 [math(\mathrm{Ext}^i_R(P,N)=0)] for all [math(i>0)] and for all [math(R)]-module [math(N)]인 것이다. 이것은 사실 [math(i=1)]라고만 가정해도 성립한다. 이제 [math(R)]-module [math(M)]가 flat이라는 것을 [math(-\otimes_R N:\mathrm{Mod}_R\to \mathrm{Mod}_R)]이 exact sequence일 때를 말한다고 하자.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기