문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 가환대수학 (문단 편집) == 모듈들의 카테고리 (Category of modules) == [math(M,N)]가 [math(R)]-module일 때 함수 [math(f:M\to N)]이 [math(R)]-module homomorphism이란 것을[* 앞으로 그냥 morphism이라고 줄여 부르자.] [math( f(ax)=af(x), f(x+y)=f(x)+f(y))] 란 두 가지를 만족할 때라고 하자. 그렇다면 우린 다음과 같은 category를 정의할 수 있다. [math(\mathrm{Ob}(\mathrm{Mod}_R)=\{\text{Class of all modules of }R\})] [math(\mathrm{Hom}_{\mathrm{Mod}_R}(M,N)=\{R-\text{module homomorphisms }f:M\to N\})] 그러면 우린 간단히 [math(\mathrm{Hom}_{\mathrm{Mod}_R}=\mathrm{Hom}_R)]로 쓰기로 하자. 이 category의 특징은 limit와 colimit가 모두 존재한다는 것이다. 그 중에서 우리는 product와 tensor product를 정의할 수 있는데, [math(M,N)]가 [math(R)]-module일 때 [math(M\times N=\{(m,n)|m\in M,n\in N\})] [math(a(m,n)=(am,an),(m,n)+(m',n')=(m+m',n+n'))] 라고 정의하고 연산규칙을 정한다. 그리고 [math(S)]가 아무 set이라면 [math(R^S=\{\sum_{i\in I}a_i[s_i]|s_i\subseteq S,a_i\in R\})] 라고 정의하자. 여기에서 합은 언제나 유한합이다. (그러니까 언제나 [math(\{s_i\})]를 유한집합으로만 잡는다.) 그러면 이런 formal sum은 언제나 abelian group이 되며 [math( A_1=R^{\{(m+m',n)-(m,n)-(m',n)|m,m'\in M,n\in N\}},A_2=R^{\{(m,n+n')|m\in M,n,n'\in N\}})] [math(A_3=R^{\{a(m,n)-(am,n)|a\in R,m\in M,n\in N\}},A_4=R^{\{a(m,n)-(m,an)|a\in R,m\in M,n\in N\}})] [math(M\otimes_R N=R^{\{(m,n)|m\in M,n\in N\}}/(A_1+A_2+A_3+A_4))] 라고 텐서곱을 정의하자. 그리고 이 때 [math((m,n)=m\otimes n)]라고 쓰자. 이것의 정의는 언뜻 보면 비직관적이고 복잡해 보이지만 잘 보면 그냥 [math(m\otimes n)] 양쪽이 각각 분배법칙이 성립하고 스칼라곱이 바깥으로 나온단 것을 복잡하게 나타냈을 뿐이다. 예를 들어보자. [math(R=\mathbb{Z})]일 때 [math(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})]는 abelian group이므로 [math(\mathbb{Z})]-module이 되고 [math(m,n)]의 최대공약수를 [math(\mathrm{gcd}(m,n))]이라고 쓰면 [math( \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\mathbb{Z}/\mathrm{gcd}(m,n)\mathbb{Z})] 임을 알 수 있다. 좌변은 언제나 [math(1\otimes 1)]에 의해서 generate되는데 이것은 [math(\mathrm{gcd}(m,n))]를 곱하면 사라지기 때문.[* [math(m(1\otimes 1)=m\otimes 1=0,n(1\otimes 1)=1\otimes n=0)]] 이 둘은 각각 product, coproduct에 대한 universal property를 만족한다. 그리고 이걸 무한번 해도 여전히 정의할 수 있다. 게다가 morphism의 kernel과 cokernel은 abelian group 할 때 똑같이 따라하면 되고 따라서 [math(\mathrm{Mod}_R)]은 limit와 colimit가 존재한다. 덤으로 우리는 [math(\mathrm{Hom}_R(M,N))]이 언제나 abelian group임을 알 수 있고, 따라서 이것은 abelian category임을 알 수 있다. 이 성질은 정말로 많이 중요하다. 이제 다음을 보자. [math(\mathrm{Hom}_R(M,-):\mathrm{Mod}_R\to \mathrm{Mod}_R)] 은 left exact functor임을 알 수 있다. 그리고 반대로 [math(-\otimes_R N:\mathrm{Mod}_R\to \mathrm{Mod}_R)] 는 right exact functor로, 이 둘은 각각의 adjoint functor가 된다. [math(\mathrm{Hom}_R(M\otimes_R N,L)=\mathrm{Hom}_R(M,\mathrm{Hom}_R(N,L)))]저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기