문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 가군 (문단 편집) == [[선형대수학]]과의 연결 == 위의 정의에서 바로 모든 벡터공간은 [math(R )]이 체인 가군이라는 것을 깨달을 수 있을 것이다. 공리가 부족해보이겠지만 가군의 정의로부터 [math(R )]이 체일 경우 벡터 공간의 조건도 만족함을 쉽게 확인할 수 있다. 그러면 벡터공간이 아닌 가군의 예시로는 무엇이 있을까? 먼저 대수학을 공부하다보면 자주 접하는 표기인 [math( nx = x + ... + x)]에 대해 생각해보자. 이 표기를 몇 번 사용하다보면 곧바로 이것이 마치 [math(x )]에 [math(n )]을 "곱하는" 것과 비슷하다는 것을 깨달을 것이다. 이 사실은 가군을 통해 설명할 수 있다. 즉, 임의의 아벨군 [math((G, +) )]에 대해, [math(\mathbb{Z} )]의 원소 [math(n )]에 의한 스칼라곱을 [math(nx )]로 정의하면[* [math(0x = 0_G )], [math((-n)x = -nx )]로 정의한다.] [math(G )]는 [math(\mathbb{Z} )] 위의 가군이다. 다른 예로는 이데알(ideal)을 들 수 있다. 환 [math(R )]에서의 이데알 [math(I )]에 대해 스칼라곱을 [math(R )]에서의 곱셈 연산으로 주면 이데알의 정의에 따라 스칼라곱은 [math(I )]에 대해 닫혀있고, 따라서 [math(I )]는 [math(R )] 위의 가군이라 할 수 있을 것이다. 덧붙여서, [math(R )]은 [math(R )]의 이데알이므로 [math(R )]은 [math(R )] 위의 가군이다. 반대로, 가군 개념을 [[체(대수학)|체]]가 아닌 [[환(대수학)|환]] 위에서의 벡터공간이라고 이해할 수도 있다. 정의를 확장한 만큼 다음과 같이 벡터공간의 여러 성질도 탈락한다. * [math(M)]이 [math(R)]-가군일 때, [math(r \in R)], [math(x \in M)]에 대해 [math(rx=0_M)]이어도 [math(r \neq 0_R)]일 수 있다. * 덧셈군 [math(\mathbb{Q})]를 [math(\mathbb{Z})]-가군으로 보았을 때, 어떠한 [math(\mathbb{Q})]의 부분집합도 선형종속이며, 따라서 기저 개념이 성립하지 않는다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기