문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 가군 (문단 편집) == 정의 == 가군([[加]][[群]], module)은 [[군(대수학)#s-6.3|가환군]] 위에 환의 작용(ring action)이 정의된 대수 구조라고 할 수 있다. 환의 작용은 [[군의 작용]]과 비슷한 개념으로, 환의 곱셈 구조가 주어진 집합에 작용하는 것이다.[* 사실은, 환의 곱셈 구조는 군이 아니므로 [[모노이드]]의 작용(monoid action)이라고 부르는 것이 더 정확하다. 애초에 군의 작용에 역원에 대한 조건이 없었으므로 이런 구분이 크게 의미가 있다고 할 수는 없겠지만 말이다.] 다만, 작용받는 집합이 가환군으로 덧셈 구조를 가지고 있고 환 자체도 덧셈 구조를 가지고 있으므로, 환에서 곱셈과 덧셈 사이에 분배법칙을 요구한 것과 마찬가지로 환의 작용도 자기 자신의 덧셈과 작용받는 가환군의 덧셈에 대한 분배 법칙을 만족하길 요구한다. 이를 풀어쓰면 다음과 같다: [math(M )]이 환 [math((R, +, \times) )] 위에서의 가군이라는 것은 다음과 같은 두 연산이 정의되어 있다는 것이다. * 덧셈 [math( +: M × M \rightarrow M )]가 정의되어 있으며 [math( (M,+) )]는 아벨 군이다. 즉, 임의의 [math( a, b, c \in M )]에 대해 다음이 성립한다. * 결합 법칙: [math( (a+b) + c = a + (b+c) )] * 교환 법칙: [math( a + b = b + a )] * 항등원 존재: [math( 0_M \in M )]가 존재해 [math( a + 0_M = 0_M + a = a )] * 역원 존재: [math( a + x = x + a = 0_M )]를 만족하는 [math( x \in M )]가 존재한다. * 스칼라곱 [math( \cdot: R \times M \rightarrow M )]가 정의되어 있으며 이는 모노이드 [math( (R, \times) )]의 작용이고, [math(R )]과 [math(M )]의 [math(+ )]에 대해 분배 법칙을 만족한다. 즉, 임의의 [math( a, b \in R )]과 [math( x, y \in M )]에 대해 다음을 만족한다. * 결합 법칙: [math( (ab) \cdot x = a \cdot (b \cdot x) )] * 분배 법칙 * [math( (a+b)\cdot x = a\cdot x + b\cdot x )] * [math( a\cdot (x+y) = a \cdot x + a\cdot y )] * 항등원 곱: [math( R )]의 곱셉에 대한 항등원 [math( 1_R )]에 대해 [math( 1_R \cdot x = x )] 위의 '항등원 곱' 조건은 환의 정의에 따라 달라진다. 환의 정의에 곱셈의 항등원을 요구하지 않는 경우에는 이 조건이 생략된다. 이 정의가 더욱 많은 경우를 다룰 수 있긴 하지만, 스칼라곱이 모노이드 작용조차 되지 못하고 반군의 작용이 되어버리는 문제점이 생긴다.[* 만약 환의 정의에 곱셈의 항등원이 포함된다면, 이 조건이 생략된 구조를 유사 가군(pseudomodule)이라 부른다. 반대로, 환의 정의에 곱셈의 항등원이 포함되지 않는다면 이 조건이 포함된 가군을 unital module 또는 module with unity라고 부른다.] 또한, 스칼라곱의 경우 반드시 왼쪽에서 행해질 이유는 없다. 스칼라곱을 [math( \cdot : M \times R \rightarrow M )]으로 둘 경우 이 집합을 오른쪽 가군(right module)이라고 부르며, 이에 대응되는 의미로 여기서 정의하는 가군을 왼쪽 가군(left module)이라 부른다. 같은 환 위에서 왼쪽 가군이자 오른쪽 가군이면서 같은 원소에 대한 스칼라 곱 값이 같을 경우 이 대수 구조를 쌍가군(bimodule)이라 부른다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기