문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 나비에-스토크스 방정식 (문서 편집) [include(틀:유체역학)] [include(틀:해석학·미적분학)] [include(틀:밀레니엄 문제)] [목차] == 개요 == >'''나비에-스토크스 방정식의 해의 존재와 매끄러움'''(Navier-Stokes existence and smoothness) >---- >나비에-스토크스 방정식의 해가 존재하는지, 존재한다면 그 해가 매끄러운지에 대한 증명 > (또는, 유한시간 안에 폭발하는 해가 존재하는지에 대한 반증) '''나비에-스토크스 방정식'''(Navier-Stokes equations[* 줄여서 NS Equation이라고도 한다.])은 점탄성이 없는 유체([[뉴턴 유체]], Newtonian fluid)에 대한 운동량 수지식(balance)으로 '''비선형''' 편미분 방정식이다.[* Basics of Fluid Mechanics ,Genick Bar-Meir 2014 GFDL[[https://open.umn.edu/opentextbooks/textbooks/85]]] [[프랑스]] 물리학자 클로드루이 나비에(1785~1836 Claude Louis Marie Henri Navier)와 [[아일랜드]] 수학자 조지 스토크스(1819~1903 Sir George Gabrial Stokes, 1st Baronet)가 [[뉴턴의 운동법칙#s-2.2|뉴턴의 운동 제2법칙]]([math({\bf F}=m{\bf a})])를 [[유체역학]]에서 사용하기 쉽게 운동량을 기준으로 세운 수지식이다. 1850년에 완성된 이 방정식은 물리학의 수많은 곳에서 널리 사용되고 있다. 연속체를 다루는 [[유체역학]]의 가장 기본이 되는 '''지배방정식(governing equation)'''이다. [[물]]과 [[공기]]를 비롯해 [[점탄성]]을 가지지 않은 대부분의 기체와 액체의 운동을 나타내는 비선형 편미분 방정식이다. 이는 다시 말하면 유체가 점성과 탄성을 동시에 가진 점탄성을 갖는 경우에는 어찌됐건 이 방정식이 성립하지 않는다는 것을 의미한다. [[피|혈액]]이나 [[우유]], [[슬러리]]나 [[라텍스]]처럼 나비에-스토크스 방정식으로 설명할 수 없는 유체(비뉴턴 유체)도 존재한다. 이는 방정식 자체가 Newtonian Fluid에만 적용이 가능하기 때문이며, 이런 Non-newtonian fluid들은 나비에-스토크스 방정식으로는 설명할 수 없는 [[점탄성]](viscoelasticity) 등의 성질을 갖고 있다. 또, [[유체역학]]은 [[연속체역학]]의 부분집합인 만큼, 연속체로 가정할 수 없는 경우(희박기체, 아주 작은 스케일 등)에는 적용되지 않을 수 있다. 나비에-스토크스 방정식은 [[아이작 뉴턴|뉴턴]]의 제2법칙인 [[뉴턴의 운동법칙|F=ma]]를 유체역학에서 사용하기 편하게 그 형태를 바꾼 것이다. 유체는 고체와 달리 정해진 형태가 없기 때문에 우리가 흔히 역학 하면 생각하는 '고정된 좌표계'에서의 분석이 불가능하다. 따라서 유체에 뉴턴 역학을 적용하기 위해서는 다른 방식이 필요하고, 이 방식에 따라 운동량 보존 법칙을 재정리한 것이 이 방정식이다. 따라서 이 방정식은 운동량 보존 법칙이라고 불리기도 한다. 물리학에서 대표적으로 보존되는 물리량 중에서 유체역학에서 중요시하는 물리량은 질량, 운동량, 에너지로, 이 세 물리량의 보존 법칙[* 비압축성의 경우 에너지 보존 법칙은 제외하고 풀기도 한다.]이 유체역학의 지배방정식이 되고, 그 중 가장 복잡하고 중요한 방정식이 이 나비에-스토크스 방정식이다. 때때로 질량 보존 법칙[* 연속방정식이라고 불리기도 한다.]까지 합쳐서 나비에-스토크스 방정식이라고 부를 때도 있다. [[기계공학]], [[항공우주공학]] 전공 대학생이라면 2~3학년 때 처음 이 방정식을 접하게 된다. 물론 [[토목공학]], [[화학공학]] 등의 유체를 다루게 되는 학과에서도 배울 수 있다. 물리학에서는 주로 플라즈마 물리 전공자들이 다룬다. [[비행기]]가 공중에 뜰 수 있는 것도, [[기상청]]에서 아직 오지도 않은 며칠 후의 날씨를 예측할 수 있는 것도 이 방정식과 관련이 있다. 쉽게 압축하자면 만약 이 방정식의 일반해를 구하는 방법이 증명된다면 기상 예측 정확도가 엄청나게 높아진다는 이야기이다. 수학적인 관점에서 보자면, 이 방정식이 3차원(또는 시간을 포함한 4차원 시공간) 상에 해가 항상 존재하는지, 존재한다면 해를 어떻게 구하는지, 특이점은 없는지, [[매끄러움|매끄러운지]] 등이 증명되지 않았다. 이렇기 때문에 공학 최전선에서조차 [[전산유체역학]]에 의존한다. 이 문제를 수학적인 관점에서 해결하라는 것이 [[밀레니엄 문제]]이다. 현재까지 미해결 문제로서, 푼 사람에게 상금 100만 달러가 수여된다. 유체역학 항목을 보면 알 수 있듯 유체역학을 안 하는 공학이 더 마이너하다. ABET을 실시하는 [[미국]] 공학 과정에서도 2학년 이전에 이수해야 하는 기본적이고 중요한 개념이다. == 공식 == === 기호 === 공식에 등장하는 기호는 다음과 같다. [math({\bf u})]는 유체의 속도 [math({\bf g})]는 중력가속도 [math(\rho)]는 밀도 [math(p)]는 압력 [math(\mu)]는 점성계수 [math(\nu)]는 점성계수를 밀도로 나눈 값([math(\nu)][math(=)][math(\dfrac \mu\rho)])[* 흔히 동점성(Kinematic Viscosity)이라고 부른다.] [math(w)]는 압력을 밀도로 나눈 값([math(w)][math(=)][math(\dfrac p\rho)]) [math(\tau)]는 전단응력계수 [math({\bf I})]는 [[단위행렬]] [math(\otimes)]는 [[텐서곱]] === 기본형 === 이 형태는 [[오귀스탱루이 코시]]의 [[코시 모멘텀 방정식]](Cauchy momentum equation)이라고도 한다. 이 경우 나비에-스토크스 방정식(Navier-Stokes equation)이라는 이름은 [[뉴턴 유체]](Newtonian fluid)의 응력-변형률 관계식(constitutive equation 또는 STRESS-STRAIN RELATIONS)에서 물질시간도함수를 대입하여 [[연속방정식]]으로 도입한후 정리해놓은 것으로 한정된다. [math(\dfrac{\partial}{\partial t}\left(\rho{\bf u}\right)+\boldsymbol{\nabla}\cdot\left(\rho{\bf u}\otimes{\bf u}+p{\bf I}\right)=\boldsymbol{\nabla}\cdot\tau+\rho{\bf g})] 가장 기본적인 형태. [[뉴턴 유체|응력과 변형률의 관계식]]에서 아직은 점성(μ)항을 나타내지 않은 상태이다. === 비압축성 (incompressible) === 유체가 비압축성(대표적으로 [[액체]])일 경우 식이 상당히 간단해진다. 속도장의 발산 [math(\dfrac{dP}{dt}=0)]이어서 최종 공식이 [math(\dfrac{d(-p{\bf u})}{dx}=\dfrac{dP}{dt}=0)]으로 아주 간단하게 나눠 떨어진다. 일반적으로 관련 학부 2~3학년 과정에서 다룬다. * [[벡터]]를 사용해서 나타낸 식 ||{{{#!wiki style="margin: 1px 0;" [math(\dfrac{\partial{\bf u}}{\partial t}+\left({\bf u}\cdot\boldsymbol{\nabla}\right){\bf u}-\nu\nabla^2{\bf u}=-\boldsymbol{\nabla}w+{\bf g})]}}}|| {{{#!folding[ 다른 표현 펼치기 · 접기 ] * 직교좌표에서 [[텐서]]를 사용해서 나타낸 식. ||[math(\left(\dfrac{\partial}{\partial t}+u_j\dfrac{\partial}{\partial x_j}-\nu\dfrac{\partial^2}{{\partial x_j}^2}\right) u_i=-\dfrac{\partial w}{\partial x_i}+g_i)]|| * 위 Einstein notation을 풀어서 쓴 것 ||[math(\displaystyle\begin{aligned} x&:\rho\left(\frac{\partial}{\partial t}+u_x\frac{\partial}{\partial x}+u_y\frac{\partial}{\partial y}+u_z\frac{\partial}{\partial z}\right)u_x=-\frac{\partial p}{\partial x}+\mu\left(\frac{\partial^2}{{\partial x}^2}+\frac{\partial^2}{{\partial y}^2}+\frac{\partial^2}{{\partial z}^2}\right)u_x+\rho g_x\\ y&:\rho\left(\frac{\partial}{\partial t}+u_x\frac{\partial}{\partial x}+u_y\frac{\partial}{\partial y}+u_z\frac{\partial}{\partial z}\right)u_y=-\frac{\partial p}{\partial y}+\mu\left(\frac{\partial^2}{{\partial x}^2}+\frac{\partial^2}{{\partial y}^2}+\frac{\partial^2}{{\partial z}^2}\right) u_y+\rho g_y\\ z&:\rho\left(\frac{\partial}{\partial t}+u_x\frac{\partial}{\partial x}+u_y\frac{\partial}{\partial y}+u_z\frac{\partial}{\partial z}\right)u_z=-\frac{\partial p}{\partial z}+\mu\left(\frac{\partial^2}{{\partial x}^2}+\frac{\partial^2}{{\partial y}^2}+\frac{\partial^2}{{\partial z}^2}\right) u_z+\rho g_z \end{aligned})]|| * 구면좌표계 ||[math(\displaystyle\begin{aligned} r&:\rho\left(\frac{\partial u_r}{\partial t}+u_r\frac{\partial u_r}{\partial r}+\frac{u_{\phi}}{r\sin\theta}\frac{\partial u_r}{\partial\phi}+\frac{u_{\theta}}{r}\frac{\partial u_r}{\partial\theta}-\frac{u_{\phi}^2+u_{\theta}^2}{r}\right)=-\frac{\partial p}{\partial r}+\rho g_{r}+\mu\left[\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial u_r}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2u_r}{\partial\phi^2}+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial u_r}{\partial\theta}\right)-2\frac{u_r+\frac{\partial u_{\theta}}{\partial\theta}+u_{\theta}\cot\theta}{r^2}-\frac{2}{r^2\sin\theta}\frac{\partial u_{\phi}}{\partial\phi}\right]\\ \phi&:\rho\left(\frac{\partial u_{\phi}}{\partial t}+u_r\frac{\partial u_{\phi}}{\partial r}+\frac{u_{\phi}}{r\sin\theta}\frac{\partial u_{\phi}}{\partial\phi}+\frac{u_{\theta}}{r}\frac{\partial u_{\phi}}{\partial\theta}+\frac{u_ru_{\phi}+u_{\phi}u_{\theta}\cot\theta}{r}\right)=-\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial p}{\partial\phi}+\rho g_{\phi}+\mu\left[\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial u_{\phi}}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2u_{\phi}}{\partial\phi^2}+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial u_{\phi}}{\partial\theta}\right)+\frac{2\sin\theta\frac{\partial u_r}{\partial\phi}+2\cos\theta\frac{\partial u_{\theta}}{\partial\phi}-u_{\phi}}{r^2\sin^2\theta}\right]\\ \theta&:\rho\left(\frac{\partial u_{\theta}}{\partial t}+u_r\frac{\partial u_{\theta}}{\partial r}+\frac{u_{\phi}}{r\sin\theta}\frac{\partial u_{\theta}}{\partial\phi}+\frac{u_{\theta}}{r}\frac{\partial u_{\theta}}{\partial\theta}+\frac{u_ru_{\theta}-u_{\phi}^2\cot\theta}{r}\right)=-\frac{1}{r}\frac{\partial p}{\partial\theta}+\rho g_{\theta}+\mu\left[\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial u_{\theta}}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2u_{\theta}}{\partial\phi^2}+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial u_{\theta}}{\partial\theta}\right)-\frac{2}{r^2}\frac{\partial u_r}{\partial\theta}-\frac{u_{\theta}+2\cos\theta\frac{\partial u_{\phi}}{\partial\phi}}{r^2\sin^2\theta}\right] \end{aligned})]|| * 원통좌표계 ||[math(\displaystyle\begin{aligned} r&:\rho\left(\frac{\partial u_r}{\partial t}+u_r\frac{\partial u_r}{\partial r}+\frac{u_{\phi}}{r}\frac{\partial u_r}{\partial\phi}+u_z\frac{\partial u_r}{\partial z}-\frac{u_{\phi}^2}{r}\right)=-\frac{\partial p}{\partial r}+\rho g_{r}+\mu\left[\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial u_r}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2u_r}{\partial\phi^2}+\frac{\partial^2u_r}{\partial z^2}-\frac{u_r}{r^2}-\frac{2}{r^2}\frac{\partial u_{\phi}}{\partial\phi}\right]\\ \phi&:\rho\left(\frac{\partial u_{\phi}}{\partial t}+u_r\frac{\partial u_{\phi}}{\partial r}+\frac{u_{\phi}}{r}\frac{\partial u_{\phi}}{\partial\phi}+u_z\frac{\partial u_{\phi}}{\partial z}-\frac{u_ru_{\phi}}{r}\right)=-\frac{1}{r}\frac{\partial p}{\partial\phi}+\rho g_{\phi}+\mu\left[\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial u_{\phi}}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2u_{\phi}}{\partial\phi^2}+\frac{\partial^2u_{\phi}}{\partial z^2}-\frac{u_{\phi}}{r^2}+\frac{2}{r^2}\frac{\partial u_r}{\partial\phi}\right]\\ z&:\rho\left(\frac{\partial u_z}{\partial t}+u_r\frac{\partial u_z}{\partial r}+\frac{u_{\phi}}{r}\frac{\partial u_z}{\partial\phi}+u_z\frac{\partial u_z}{\partial z}\right)=-\frac{\partial p}{\partial z}+\rho g_{z}+\mu\left[\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial u_z}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2u_z}{\partial\phi^2}+\frac{\partial^2u_z}{\partial z^2}\right] \end{aligned})]|| [* 주어진 항은 대부분 필요에 따라 구속조건(유체 및 관 벽 간에 작용하는 전단력, 유체 간 점성 차이, 유체의 속도)을 통해 소거할 수 있다.] }}} 이렇게만 보자면 정말 어려워 보이지만, 물리학적 관점으로 이해를 시도하면 단순히 유체에 작용하는 모든 운동량 전달을 나열해놓은 것으로 그렇게 어렵지 않다. 유체에 전달되는 운동량은 유체의 흐름에 의한 대류 전달, 유체 또는 관 벽면의 입자 간 전달(전단 응력)(shear stress), 압력에 의한 전달, 중력에 의한 전달(유체의 무게)로 이루어져 있고, 각 항의 벡터식을 좌표계에 맞게 쪼갠 것뿐이다. 뉴턴의 법칙으로부터 이 비압축성 방정식의 유도를 보고 싶다면 [[오일러 방정식#s-3.2]]의 3.2항목으로. ==== 비점성 (inviscid) ==== 이때는 식이 더 간단해진다. ||{{{#!wiki style="margin: 1px 0;" [math(\dfrac{\partial{\bf u}}{\partial t}+\left({\bf u}\cdot\boldsymbol{\nabla}\right){\bf u}=-\boldsymbol{\nabla}w+{\bf g})]}}}|| 위 incompressible과 비교해보면, 비점성인 경우에는 [math(\mu=0)]이기 때문에 3번째 항[math( \left( \nu=\frac{\mu}{\rho}\right) )]이 사라졌다. 이 식은 [[오일러 방정식]]이기도 하다. 교수, 조교의 재량에 따라 1학년 미적분학에서도 어려운 응용문제 수준으로 만나 볼 수 있는데, 공돌이 타입 교수나 조교들이 다변수 미적분 파트에서 연습 문제나 시험으로 종종 낼 때도 있다.(적당히 알고 있으면 맞힐 수 있다.) 일반적인 기계공학이나 화학공학 등에서는 잘 다루지 않는 영역이라, 항공역학이나 로켓공학을 공부하지 않는 이상 'Re가 매우 클 때는 이렇게 된다' 정도만 짚고 넘어가는 파트다. === 압축성 === ||[math(\dfrac{\partial{\bf u}}{\partial t}+({\bf u}\cdot\boldsymbol{\nabla}){\bf u}=-\dfrac{1}{\rho}\boldsymbol{\nabla}\bar{p}+\nu\nabla^2{\bf u}+\dfrac{1}{3}\nu\boldsymbol{\nabla}(\boldsymbol{\nabla}\cdot{\bf u})+{\bf g})]|| 대표적으로 [[기체]]가 있으며, 같은 기체라도 유속이 빠를수록 압축성에 의한 효과가 크게 나타난다. 비압축성에 비해 항이 좀 더 많아졌다. 스칼라식 풀이도 존재하나 생략한다. 이것까지 학부 과정에서 배우기엔 시간이 부족해서 기체의 유동도 비압축성이라 가정하며 실용적인 열 몇 가지 경우만 짚고 넘어간다.[* 예를 하나 들면 관속을 흐르는 유동체의 기체와 액체.] 사실 일반적인 공학 입장에서는 저 열 몇 가지면 대체로 실용면에선 끝이라 봐도 무방하고,[* 화공을 예를 들면 졸업 후 필드에 나가거나 대학원에서 플랜트에 가보면 알겠지만, 도면도 그렇고 정말 완벽하게 이걸 쓰기 편하게 맞춰서 설계가 기본적으로 되어 있다.] 이거랑 일반항을 본격적으로 파는 건 대학원 가서 하게 된다. == 유도 == === 비압축성 === 나비에-스토크스 방정식은 [[오일러 방정식]]에다가 점성을 고려한 것이다. 해당 문서에도 점성에 대한 설명이 조금 나오지만, 이 항목에선 점성항을 조금 더 엄밀하게 다루고자 한다. 일단 먼저 "변형률 속도(strain rate)"를 알아보자. 점성이 있는 유체라면 주위 유체에서부터 [[응력]]을 받으면, 이 응력(stress) 때문에 "변형률(strain)"이 생긴다. 이 변형률이 시간에 따라 변화하는 속도가 변형률 속도이며, [math(3\times 3)] 행렬 텐서인 [math(\nabla{\bf u})]로 정의된다. 대략 유체 "모양"이 변화하는 속도로 생각하면 된다. 이 텐서는 두 텐서로 분해가 가능한데, 하나는 유체가 얼마나 "회전"하는 정도를 나타내는 텐서이며, 다른 하나는 회전 없이 정말 모양이 변화하는 속도를 나타내는 텐서다. 후자를 [math(\underline{\underline\varepsilon})]라 칭하며,[* 두 줄 그은 건 이게 스칼라나 벡터가 아닌 행렬 텐서라는 걸 강조하기 위한 것이다.] [math(\underline{\underline\varepsilon}=\dfrac{1}{2}(\nabla{\bf u}+\nabla{\bf u}^{\rm T}))]로 정의된다. 뉴턴의 점성 법칙에 의하면 응력은 이 변형률 속도에 비례한다. 즉, [math(\underline{\underline\tau}\propto\underline{\underline\varepsilon})].[* 응력은 소문자 타우([math(\underline{\underline\tau})])로 나타낼 때도 있고, 소문자 시그마([math(\underline{\underline\sigma})])로 나타낼 때도 있다. 주로 전단 응력에는 타우를 쓰고 압축 응력에는 시그마를 쓰지만, 편의를 위해서 이 항목에서는 전부 타우로 통일했다.] 이 법칙을 따르는 유체를 뉴턴 유체라고 한다. 아쉽게도 이 법칙은 우주의 기본적인 법칙은 아니고, 문제를 쉽게 만들기 위한 편의상의 법칙이다. [[옴의 법칙]]이나 [[로버트 훅#s-2.1.2|훅의 법칙]] 처럼. 이제 우린 나비에-스토크스를 유도할 준비가 됐다. 일단 오일러 방정식에서부터 시작하자. {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\rho\left(\dfrac{\partial{\bf u}}{\partial t}+({\bf u}\cdot\nabla){\bf u}\right)=-\nabla p+\rho{\bf g})]}}} 좌변이 [math({\bf F}=m{\bf a})]의 [math(m{\bf a})]고, 우변이 [math({\bf F})]다. 단, 우변은 힘이 아니고 힘 밀도 (force density)라는 물리량이다. 좌변의 항도 질량 대신 (질량)밀도. 그렇다면 여태까지 이야기한 점성응력에 의한 힘 밀도는 무엇일까? 답은 [math(\nabla\cdot\underline{\underline\tau})]이다. 어째서일까? 먼저 코시 응력 텐서가 어떻게 생겼는지 한 번 보자.[* 이 텐서의 정확한 의미는 [[응력]]문서 참조.] {{{#!wiki style="text-align: center" {{{+1 [math(\begin{bmatrix}\tau_{xx}\quad\tau_{xy}\quad\tau_{xz}\\\tau_{yx}\quad\tau_{yy}\quad\tau_{yz}\\\tau_{zx}\quad\tau_{zy}\quad\tau_{zz}\end{bmatrix})]}}}}}} [[파일:Divergence_of_Stress_Tensor.jpg|width=400&height=400&align=center]] 위의 그림을 참고해서 [math(F_x)]를 구해보자. [math(y)]와 [math(z)] 방향으로도 똑같은 방법으로 구할 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [math({\rm d}F_x=\Delta\tau_{xx}\,{\rm d}y{\rm d}z+\Delta\tau_{yx}\,{\rm d}x{\rm d}z+\Delta\tau_{zx}\,{\rm d}x{\rm d}y=\left(\dfrac{\partial\tau_{xx}}{\partial x}+\dfrac{\partial\tau_{yx}}{\partial y}+\dfrac{\partial\tau_{zx}}{\partial z}\right)\,{\rm d}x{\rm d}y{\rm d}z)] [br][math(\dfrac{{\rm d}F_x}{{\rm d}V}=\dfrac{\partial\tau_{xx}}{\partial x}+\dfrac{\partial\tau_{yx}}{\partial y}+\dfrac{\partial\tau_{zx}}{\partial z})]}}} 우변은 [math((\nabla\cdot\underline{\underline\tau})_x)]이므로, [math(y)]와 [math(z)] 방향으로도 똑같은 계산을 하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\dfrac{{\rm d}{\bf F}}{{\rm d}V}=\nabla\cdot\underline{\underline\tau})]}}} 인 걸 알 수 있다. 그렇다면 이제 이 항을 오일러 방정식의 우변에 더해주자. {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\rho\left(\dfrac{\partial{\bf u}}{\partial t}+({\bf u}\cdot\nabla){\bf u}\right)=-\nabla p+\nabla\cdot\underline{\underline\tau}+\rho{\bf g})]}}} 이제 [math(\underline{\underline\tau})] 와 속도장인 [math({\bf u})]의 연관성을 찾아야 한다. 여기에 필요한 게 바로 [math(\underline{\underline\varepsilon})]다. 뉴턴의 점성 법칙을 적용하자. {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\underline{\underline\tau}=2\mu\underline{\underline\varepsilon})]}}} 이렇게 비례상수를 [math(2\mu)]로 정한다. 그렇다면, {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\underline{\underline\tau}=\mu(\nabla{\bf u}+\nabla{\bf u}^{\rm T}))]}}} 또한 성립한다. 또한, 조금만 계산을 해보면 [math(\nabla\cdot(\nabla{\bf u}+\nabla{\bf u}^{\rm T})=\nabla^2{\bf u})]인 걸 알 수 있다.(이유 비압축성 유체에서는 [math(\nabla\cdot{u}=0)] 이므로(연속방정식)) 따라서 [math(\nabla\cdot\underline{\underline\tau}=\mu\nabla^2{\bf u})]이며, 이걸 위의 식에 대입하면... {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\rho\left(\dfrac{\partial{\bf u}}{\partial t}+({\bf u}\cdot\nabla){\bf u}\right)-\mu\nabla^2{\bf u}=-\nabla p+\rho{\bf g})]}}} 양변을 밀도로 나누고 [math(\nu=\dfrac{\mu}{\rho})]와 [math(\nabla w=\dfrac{\nabla p}{\rho})]를 적용하면 익숙한 비압축성 나비에-스토크스 방정식 완성. {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\dfrac{\partial{\bf u}}{\partial t}+({\bf u}\cdot\nabla{\bf u})-\nu\nabla^2{\bf u}=-\nabla w+{\bf g})]}}} === 압축성 === 유체가 압축성이란 말은 [math(\nabla\cdot{\bf u}\neq 0)]와 동치다. 이 압축성 때문에, 방금 전에 구했던 응력 텐서를 조금 바꿔줘야 한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\underline{\underline\tau}=\lambda(\nabla\cdot{\bf u}){\bf I}+\mu(\nabla{\bf u}+\nabla{\bf u}^{\rm T}))]}}} 여기서 [math(\lambda)]는 비례상수이며, [math({\bf I})]는 [math(3\times 3)] 단위행렬이다. 예상대로 다이버전스가 클수록(유체가 더 많이 팽창할 수록) 응력이 커진다. [math(\zeta=\lambda+\dfrac{2}{3}\mu)] 를 정의하고 이 텐서를 분해하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\underline{\underline\tau}=\zeta(\nabla\cdot{\bf u}){\bf I}+\mu\left(\nabla{\bf u}+\nabla{\bf u}^{\rm T}-\dfrac{2}{3}(\nabla\cdot{\bf u}){\bf I}\right))]}}} 양쪽에 [math(\nabla\cdot)] 연산자를 취해주면 나오는 우변 결과를 오일러 방정식 우변에 대입하자. [math(\bar p=p-\zeta\nabla\cdot{\bf u})]도 대입하고 양변을 밀도로 나누면 위쪽 항목에 쓰여져 있는 압축성 나비에-스토크스 방정식이 나온다. 참고로 [math(\nabla\cdot\nabla{\bf u}=\nabla^2{\bf u})]이며, [math(\nabla\cdot\nabla{\bf u}^{\rm T}=\nabla(\nabla\cdot{\bf u}))]이다. {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\dfrac{\partial{\bf u}}{\partial t}+({\bf u}\cdot\nabla{\bf u})=-\dfrac{1}{\rho}\nabla\bar{p}+\nu\nabla^2{\bf u}+\dfrac{1}{3}\nu\nabla(\nabla\cdot{\bf u})+{\bf g})]}}} 자명한 얘기지만, [math(\nabla\cdot{\bf u}=0)]를 가정하면 비압축성 형태로 단순화된다. == 해 == [youtube(YW9H8DIA9nM)] 문제는 이 방정식이 지금까지 알려진 것 중에 (해석적인) 해를 구하기 가장 어려운 [[편미분방정식]] 중 하나라는 것이다. 이 방정식을 풀기 어렵게 만드는 범인은 위의 방정식의 좌변 두 번째 항([math(\boldsymbol{\nabla}\cdot\left(\rho{\bf u}\otimes{\bf u}+p{\bf I}\right))])으로, 이 항(advective term)[* 유체 이동에 의한 속도장의 변화를 나타낸다.]이 비선형[* 1차 [[연립방정식]]으로 변형할 수 없는 꼴.]이기 때문에 해를 구하기가 어렵게 된다. 게다가 압축성의 경우에는 우변 맨 마지막의 점성항도 비선형([math(\mu\nabla^2{\bf u}\rightarrow\nu\nabla^2{\bf u}+{1\over 3}\nu\boldsymbol{\nabla}\left(\boldsymbol{\nabla}\cdot{\bf u}\right))])으로 변한다. 몇몇 특수한 경우의 풀이법[* 대표적인 것으로는 속도가 다른 두 평판 사이의 유동(Couette; 예를 들어 비 올 때 도로와 타이어 사이의 빗물의 유동)이나 가늘고 긴 관 속을 흐르는 유동(Poiseuille)이 있다. 이 이외에도 몇 가지의 해석해가 존재하지만, 대부분 매우 느린 유동에 해당한다. 이는 사실상 공돌이들이 배우는 유체역학이 복잡해지는 이유 중 하나로, 여러 경우에 대해 각각 다른 공식을 적용해야 하기 때문이다.]은 알려져 있지만 일반적인 풀이법은 알려져 있지 않다. 심지어는 일반해가 있는지 없는지조차 아직 모른다... 이 방정식의 일반해(정확히는 전역적이고 매끄러운 일반해)의 존재성을 보이거나 반증하는 것은 'Navier–Stokes existence and smoothness'[* 번역하면 "나비에-스톡스 방정식의 해와 그 매끄러움".]라는 이름으로 [[밀레니엄 문제]]로 선정됐으며, 현재 100만 달러의 상금이 걸려 있다. 이걸 푼다면 노벨물리학상부터 아벨상, 필즈상 등 온갖 상을 휩쓸고 밀레니엄 문제의 상금까지 받아갈 수 있다. 어쨌든 일반해의 존재성이 보장되느냐와 별개로 유체의 움직임을 예측하기 위해 [[컴퓨터]]를 동원해 [[수치해석|수치적으로 구하는 것이 유일한 방법]]으로 해를 구해 쓰고 있다. 이를 [[전산유체역학]](Computational Fluid Dynamics, 줄여서 CFD)이라고 부른다. 더 자세한 내용은 [[전산유체역학]] 참조. 2014년 1월 11일에 [[카자흐스탄]] 교수인 무흐타르바이 외텔바예프(Мұхтарбай Өтелбаев)가 이 방정식의 전역적(global)이고 연속적인 해가 존재함을 증명했다고 [[http://bnews.kz/en/news/post/180213/|#]] 발표했으나, 결국 검증 끝에 해당 증명은 틀렸다고 판명됐다. [[http://www.nature.com/news/fiendish-million-dollar-proof-eludes-mathematicians-1.15659|#]] === 부분적 해 === * [[2차원]]에서의 문제는 일찍이 [[1969년]]에 해결됐다. [[러시아]]의 수학자 올가 라디젠스카야(Óльга Лады́женская)가 전역적(global)이고 매끄러운 해가 있음을 증명했다.[* Ladyzhenskaya, Olʹga Aleksandrovna (1969). The Mathematical Theory of Viscous Incompressible Flows.] * 초기 속도 [math({\bf v_0(x)})]가 충분히 작을 경우에 대해서도 해결됐다. 전역적(global)이고 매끄러운 해가 있다.[*A "Official statement of the problem". Clay Mathematics Institute.] * 유한 시간 [math({T})]에 대해 초기 속도 [math({\bf v_0(x)})]가 주어진다면 [math(\mathbb{R}^3 × [0,T])] 위에서 나비에-스토크스 방정식은 전역적이고 매끄러운 해 [math({\bf v}(x,t))]와 [math(p(x,t))]를 갖는다. 그러나, 유한 시간 내에 폭발하는 해(blow-up)가 존재할 경우 그 이후의 거동에 대해서는 알려지지 않았다.[*A] * [[1934년]]에 장 르레(Jean Leray)가 약해(weak solution)의 존재성을 증명했다.[* Leray, Jean (1934). "Sur le mouvement d'un liquide visqueux emplissant l'espace"] * [[1962년]]에 [[존 내시]]가 국소적(local) 시간 안에서 유일하고(unique) 정칙적인(regular) 해의 존재를 증명했다.[* Nasar, Sylvia (2001). "Chapter 41: An Interlude of Enforced Rationality". A Beautiful Mind. Touchstone.] * [[테렌스 타오]]는 [[2014년]], [[2016년]]에 평균화된(averaged) 3차원 나비에-스토크스 방정식이, 유한 시간 내에 폭발하는 해를 가짐을 보였다.[* Tao, Terence (2014-02-04). "Finite time blowup for an averaged three-dimensional Navier-Stokes equation"][* Tao, Terence (2016). "Finite time blowup for an averaged three-dimensional Navier-Stokes equation"] 전문가들 사이에서도 강해(strong solution)가 존재하는지, 유한시간 안에 폭발하는 해가 존재하는지 의견이 분분한 상태다. == 창작물에서의 등장 == * 만화 [[바텐더(만화)|바텐더]]에서 잠시 언급되는데, [[사사쿠라 류]]의 단골 중 하나인 수학자가 이 나비에-스토크스 방정식의 증명에 상당히 도달했다는 식의 설정으로 등장하며 책까지 쓴 것으로 나온다. 다만 말 그대로 이름만 언급하고 넘어가는 것으로 보아 증명은 실패한 듯. 애초에 '수학자 = 괴짜'라는 이미지를 표현하기 위한 조연이다. * [[히가시노 게이고]]의 소설 [[라플라스의 마녀]]에서도 핵심 주제로 등장한다. 특정한 뇌 수술을 받은 사람이 무의식적으로 이 문제를 해결했다는 설정. 며칠 후의 날씨를 정확히 예측하고, 3층 높이에서 종이를 떨어트려서 정확한 곳에 안착시키는 기행을 보여준다. 이건 유체역학뿐만 아니라 제어공학을 신급으로 잘해야 할 텐데... * [[크리스 에반스]]가 주연으로 출연한 영화 [[어메이징 메리]]에서도 매우 중요한 요소로 등장한다. 자세한 내용은 스포일러이므로 생략한다. * 웹툰 [[삼국지톡]]에서는 [[제갈량(삼국지톡)|어린 제갈량]]이 이 문제를 풀고 있는 모습으로 등장해[* 작중 시점 나이가 13세인데 거기서 중학교 월반까지 한 상태다.] 제갈량의 비범한 천재성을 강조하는 소재로 활용됐다. 더불어 기상 예측과도 연관이 있는 공식이라는 점에서 후일의 [[적벽대전|동남풍]] 복선이라고 보는 해석도 있다. * 웹툰 [[수학 잘하는 법]]에서 두 주인공이 해결하고자 하는 문제로 나온다. 결말에서 증명된 것으로 나오며, 두 주인공이 이 문제를 해결하는 데 중요한 역할을 한 것으로 나온다. * 웹툰 [[놓지마 정신줄]]에서는 853화에 정신이가 썬더피에게 나비에-스토크스 방정식을 풀어보라 시키고, 그 다음으로는 [[호지 추측]]까지 풀어보라 시킨다. 중간중간의 대사를 보면 정신이는 모든 밀레니엄 문제를 푼 것으로 보인다... * [[우리는 공부를 못해]]에서 [[오가타 리즈]]가, 나리유키를 공항에 갈 수 있도록 선생님들의 주의를 끌기 위해 이 방정식에 대한 질문을 한다. 선생님은 물론 멘탈이 나가고... == 관련 문서 == * [[밀레니엄 문제]] * [[항공우주공학]] * [[대기과학]] * [[유체역학]] * [[벡터 미적분학]] * [[믿음으로 나는거에요]] [[분류:밀레니엄 문제]][[분류:물리학]][[분류:유체역학]][[분류:해석학(수학)]][[분류:방정식]][[분류:물리화학]][[분류:기계공학]][[분류:화학공학]]저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기