문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 각속도 (문서 편집) [include(틀:다른 뜻1, other1=실시간 전략 게임 등에서 쓰이는 용어, rd1=회전력)] [include(틀:고전역학)] [목차] == 개요 == {{{+1 angular velocity · [[角]][[速]][[度]]}}} 강체 운동을 대표하는 물리량 중 하나로, 기준이 되는 축 주위로 얼마나 빠르게 도는지를 나타낸다.[* 달리 '회전력'이라고도 한다.] 기호는 주로 [math(\omega)][* 다만 [math(\omega)]는 [[전기공학|전기]]·[[전자공학]] 등에서 [[진동수#각진동수 / 각주파수|각주파수]]를 표기할 때도 사용되므로 문맥으로 구별해야 한다. 또한 수학의 삼차방정식의 원시근과도 구별해야한다.]나 [math(\Omega)][* [[전기저항]]을 표기할 때도 쓰인다.]를 쓰며, 단위는 SI 단위 체계로 [math(\mathrm{rad/s})]로 나타낸다. 물론 라디안은 [[무차원량]]이라 가끔 [math(\mathrm{s^{-1}})], 초의 역수로 표기하기도 한다. 일상에서는 분당 회전수로 [math(\mathrm{RPM})][* Revolution Per Minute, [math(1\,{\rm RPM}=\dfrac{\pi}{30}\,{\rm rad/s})]]을 많이 쓴다. == 각 변위 == 각속도를 정의하기 전에 각 변위를 살펴볼 필요가 있다. 어떠한 축의 방향을 가진 단위 벡터 [math(\mathbf{\hat n}=a\mathbf{\hat{x}}+b\mathbf{\hat{y}}+c\mathbf{\hat{z}})]를 고려해보자. [[파일:namu_각속도_1111.png|width=180&align=center]] 이때, 위 그림과 같이 [math(\mathbf{\hat{n}})]을 축으로 [math(\theta)]만큼 회전하는 상황을 고려하자. 이때, 회전 방향은 [math(\mathbf{\hat{n}})]에 대하여 오른손 법칙에 따라 정한다. 초기 벡터 [math(\mathbf{r})]이 나중 벡터 [math(\mathbf{r'})]로 변했다고 할 때, 이는 선형 변환으로 기술되며, 다음과 같은 관계에 있다. {{{#!wiki style="text-align: center;" [br][math(\displaystyle \mathbf{r'}=\pmb{\mathsf{R}}\mathbf{r} )]}}} 이때, 선형 변환을 기술하는 행렬은 {{{#!wiki style="text-align: center;" [br][math(\displaystyle \pmb{\mathsf{R}}= (1-\cos{\theta}) \begin{bmatrix} a^2 & ab & ac \\ ab & b^{2} & bc \\ ac & bc & c^{2} \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} \cos{\theta} & -c\sin{\theta} & b\sin{\theta} \\ c\sin{\theta} & \cos{\theta} & -a\sin{\theta} \\ -b\sin{\theta} & a\sin{\theta} & \cos{\theta} \end{bmatrix} )][*출처 Howard Anton, Robert C. Busby, 《Contemporary Linear Algebra》, pp.290]}}} 으로 기술된다. 여기서 변위가 얼마나 변했는지 나타내는 것은 곧 {{{#!wiki style="text-align: center;" [br][math(\displaystyle \mathbf{r'-r}=(\pmb{\mathsf{R}}-\pmb{\mathsf{E}})\mathbf{r} )]}}} 이다. [math(\pmb{\mathsf{E}})]는 단위 행렬이다. 즉, 행렬 [math(\pmb{\mathsf{R}}-\pmb{\mathsf{E}} \equiv \pmb{\mathsf{\Theta}})]는 얼마나 회전했는지를 담고있다고 볼 수 있다. 이러한 행렬은 교환 법칙이 성립하지 않기 때문에 벡터로는 취급할 수 없다. 이제 무한소 회전을 고려해보자. [math(\theta \to \delta \theta \ll 1 )]의 변환을 거치면 {{{#!wiki style="text-align: center;" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{(\delta \theta)} &\approx \delta \theta \\ \cos{(\delta \theta)} &\approx 1 \end{aligned} )]}}} 이기 때문에 {{{#!wiki style="text-align: center;" [br][math(\displaystyle \delta \pmb{\mathsf{\Theta}}= \begin{bmatrix} 0 & -c\,\delta\theta & b\,\delta\theta \\ c\,\delta\theta & 0 & -a\,\delta\theta \\ -b\,\delta\theta & a\,\delta\theta & 0 \end{bmatrix} )]}}} 으로 써진다. 이 행렬은 명백한 반대칭 행렬(anti-symmetric matrix)이고, 반대칭 행렬은 벡터로 표현 가능하기에 {{{#!wiki style="text-align: center;" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \delta \boldsymbol{\theta}&=\mathbf{\hat{x}}a\,\delta\theta+\mathbf{\hat{y}}b\,\delta\theta+\mathbf{\hat{z}}c\,\delta\theta \\&=\delta \theta \,\mathbf{\hat{n}} \end{aligned} )]}}} 라 하면 {{{#!wiki style="text-align: center;" [br][math(\displaystyle \delta \mathbf{r}=\delta \boldsymbol{\theta} \times \mathbf{r} )]}}} 으로 쓸 수 있는 것이다. 여기서 [math(\delta \boldsymbol{\theta})]를 각 변위라 한다. 여기서 중요한 건 [math(\delta \boldsymbol{\theta})]의 방향은 [math(\mathbf{\hat{n}})]의 방향과 일치한다는 점이다. 즉, 각 변위는 회전축 방향을 향한다. 각 변위는 유한한 회전을 다루는 경우 벡터로 다룰 수 없지만 무한소 회전을 다루는 경우 벡터가 된다는 것이 특징이다. == 정의 == 위에서 도출된 {{{#!wiki style="text-align: center;" [br][math(\displaystyle \delta \mathbf{r}=\delta \boldsymbol{\theta} \times \mathbf{r} )]}}} 에서 시간 [math(\delta t)]을 나누고, [math(\delta t \to 0)]의 극한을 취하자. {{{#!wiki style="text-align: center;" [br][math(\displaystyle \lim_{\delta t \to 0}\frac{\delta \mathbf{r}}{\delta t}=\lim_{\delta t \to 0}\frac{\delta \boldsymbol{\theta}}{\delta t} \times \mathbf{r} )]}}} 이는 곧 시간 미분으로 대체되므로 {{{#!wiki style="text-align: center;" [br][math(\displaystyle \mathbf{\dot{r}}=\frac{{\rm d} \boldsymbol{\theta}}{{\rm d} t} \times \mathbf{r} )]}}} 여기서 나온 물리량 {{{#!wiki style="text-align: center;" [br][math(\displaystyle \frac{{\rm d} \boldsymbol{\theta}}{{\rm d} t} \equiv \boldsymbol{\omega} )]}}} 을 각속도라 정의한다. 즉, 다음이 성립한다. {{{#!wiki style="text-align: center;" [br][math(\displaystyle \mathbf{\dot{r}}=\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} )]}}} 이때, [[속도|[math(\bf{\dot r}=\bf{v})]]]이다. == 유사 벡터 여부 == 일반적인 벡터, 특히 물리학에서는 변위 벡터와 같이 반사에 대하여 부호가 반대되지 않는 벡터와 달리 부호가 반대되는 벡터를 '''유사 벡터(pseudovector)'''라 한다. 각속도 또한 유사 벡터인데, 이것은 아래와 같이 쉽게 보일 수 있다. [[파일:namu_각속도_2.png|width=330&align=center]] 일반적인 벡터의 경우 '''(a)'''와 같이 반전시켜도 달라지지 않으나 각속도 벡터의 경우 '''(b)'''와 같이 부호가 반대가 된다. '''따라서 각속도는 유사 벡터이다.''' [anchor(각가속도)] == 각가속도 == '''각가속도(angular acceleration, [[角]][[加]][[速]][[度]])'''는 강체의 회전 운동을 대표하는 물리량 중 하나로, 기준이 되는 축 주위로 각속도가 얼마나 빠르게 변하는지를 나타낸다. 기호로는 주로 [math(\alpha)]를 쓰며, 단위는 SI 단위 체계로 [math(\mathrm{rad/s^2})]로 나타낸다. 물론 [[라디안]]은 [[무차원량]]이라 가끔 [math(\mathrm{s^{-2}})], [[초(단위)|초]]의 제곱역수로 표기하기도 한다. 각가속도는 각속도의 시간 미분으로 주어진다. {{{#!wiki style="text-align: center;" [br][math(\displaystyle \boldsymbol{\alpha} \equiv \frac{{\rm d} \boldsymbol{\omega}}{{\rm d}t}=\frac{{\rm d}^{2} \boldsymbol{\theta}}{{\rm d}t^{2}} )]}}} 각가속도는 곧 각속도의 변화량이므로 한 축을 기준으로 회전하는 물체의 경우 각가속도와 각속도는 평행하다. 그러나 팽이와 같이 세차 운동이 일어나는 경우엔 그렇다고 말할 수 없다. [anchor(미분 증명)] == 회전 좌표계에서 == 고정 좌표계와 물체와 함께 회전하는 회전 좌표계를 고려하자. 이 회전 좌표계에서 봤을 때, 어떤 벡터 [math(\mathbf{Q})]가 존재한다고 생각하자. 회전 좌표계의 기저를 [math(\mathbf{e}_{j})]라 할 때 이 벡터의 시간 미분을 고려해보자. 고정 좌표계에서 {{{#!wiki style="text-align: center;" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \biggl( \frac{{\rm d} \mathbf{Q}}{{\rm d}t} \biggr)_{\textsf{fixed}}&=\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\sum_{i}Q_{i}\mathbf{e}_{i} \\&=\sum_{i} (\dot{Q}_{i}\mathbf{e}_{i}+Q_{i}\mathbf{\dot{e}}_{i}) \\&=\biggl( \frac{{\rm d} \mathbf{Q}}{{\rm d}t} \biggr)_{\textsf{rotating}}+\sum_{i}Q_{i}\mathbf{\dot{e}}_{i} \end{aligned} )]}}} 으로 써진다. 여기서 마지막 항의 [math(\mathbf{\dot e}_{i})]를 다음과 같이 어떠한 변환 행렬 [math(\pmb{\mathsf{\lambda}})]가 존재하여 {{{#!wiki style="text-align: center;" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{\dot{e}}_{i}=\sum_{j} \lambda_{ij} \mathbf{e}_{j} \end{aligned} )]}}} 으로 쓸 수 있다고 가정해보자. 한편, [math(\mathbf{e}_{i} \boldsymbol{\cdot } \mathbf{e}_{j}=\delta_{ij})](단, [math(\delta_{ij})]는 [[크로네커 델타]]이다.) 양변을 시간 미분하면 {{{#!wiki style="text-align: center;" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{\dot e}_{i} \boldsymbol{\cdot } \mathbf{e}_{j}+\mathbf{e}_{i} \boldsymbol{\cdot } \mathbf{\dot e}_{j}=0 \end{aligned} )]}}} 위에서의 가정을 대입하면 {{{#!wiki style="text-align: center;" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \sum_{k} \lambda_{ik}\mathbf{e}_{k} \boldsymbol{\cdot } \mathbf{e}_{j}+\sum_{k}\lambda_{jk} \mathbf{e}_{i} \boldsymbol{\cdot } \mathbf{ e}_{k}&=\sum_{k} \lambda_{ik}\delta_{jk}+\sum_{k}\lambda_{jk} \delta_{ik} \\&=\lambda_{ij}+\lambda_{ji} \end{aligned} )]}}} 따라서 [math(\lambda_{ji}=-\lambda_{ij})]로, 행렬 [math(\pmb{\mathsf{\lambda}})]는 반대칭 행렬인 것이다. 행렬 [math(\pmb{\mathsf{\lambda}})]를 다음과 같은 꼴로 생각하면 {{{#!wiki style="text-align: center;" [br][math(\pmb{\mathsf{\lambda}}=\begin{bmatrix} 0 & \lambda_{3} & -\lambda_{2} \\ -\lambda_{3} &0 & \lambda_{1} \\ \lambda_{2} & -\lambda_{1} &0 \end{bmatrix})]}}} 인데, 즉 행렬의 성분을 {{{#!wiki style="text-align: center;" [br][math(\displaystyle \lambda_{ij}=\sum_{k}\varepsilon_{ijk}\lambda_{k})]}}} 로 나타낼 수 있는 것이다. [math(\varepsilon_{ijk})]는 [[레비치비타 기호|레비-치비타 기호]]이다. 이상에서 {{{#!wiki style="text-align: center;" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{\dot{e}}_{i}=\sum_{jk} \varepsilon_{ijk}\lambda_{k} \mathbf{e}_{j} \end{aligned} )]}}} 이므로 {{{#!wiki style="text-align: center;" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \sum_{i}Q_{i}\mathbf{\dot{e}}_{i}&=\sum_{ijk} \varepsilon_{ijk}Q_{i}\lambda_{k} \mathbf{e}_{j} \\&=\sum_{j}\biggl[ \sum_{ik} \varepsilon_{jki}\lambda_{k}Q_{i} \biggr] \mathbf{e}_{j} \\&=\sum_{j} [\boldsymbol{\lambda} \times \mathbf{Q}]_{j}\mathbf{e}_{j} \\&=\boldsymbol{\lambda} \times \mathbf{Q} \end{aligned} )]}}} 이다. 이상에서 {{{#!wiki style="text-align: center;" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \biggl( \frac{{\rm d} \mathbf{Q}}{{\rm d}t} \biggr)_{\textsf{fixed}}=\biggl( \frac{{\rm d} \mathbf{Q}}{{\rm d}t} \biggr)_{\textsf{rotating}}+\boldsymbol{\lambda} \times \mathbf{Q} \end{aligned} )]}}} 를 얻는다. 이제 남은 것은 [math(\boldsymbol{\lambda})]를 결정하는 것이다. 이를 위해 [math(\mathbf{Q})]가 임의의 벡터라는 점에 착안하여 그것을 위치 벡터 [math(\mathbf{r})]로 설정하자. {{{#!wiki style="text-align: center;" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \biggl( \frac{{\rm d} \mathbf{r}}{{\rm d}t} \biggr)_{\textsf{fixed}}=\biggl( \frac{{\rm d} \mathbf{r}}{{\rm d}t} \biggr)_{\textsf{rotating}}+\boldsymbol{\lambda} \times \mathbf{r} \end{aligned} )]}}} 여기서 만약 우변의 첫 번째 항이 0이라고 가정하면, 즉 이 상황은 회전 좌표계에서 병진 운동이 일어나지 않는 상황과 동치인데, 이는 [math(\boldsymbol{\lambda}=\boldsymbol{\omega})]라는 결론에 다다르게 된다. {{{#!wiki style="text-align: center;" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \therefore \biggl( \frac{{\rm d} \mathbf{Q}}{{\rm d}t} \biggr)_{\textsf{fixed}}=\biggl( \frac{{\rm d} \mathbf{Q}}{{\rm d}t} \biggr)_{\textsf{rotating}}+\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{Q} \end{aligned} )]}}} 즉, 이 식은 회전 좌표계에 있는 벡터를 각 좌표계의 시간 미분을 할 때 서로의 관계식을 나타낸다. 이 논의는 [[비관성 좌표계]]를 논할 때 다시 나온다. == 물리량과의 관계 == === 회전 운동 에너지 === 강체의 운동 에너지는 질량 중심의 병진 운동 에너지와 질량 중심 주위로의 회전 운동 에너지의 합으로 쓸 수 있다. 이때, 회전 운동 에너지는 {{{#!wiki style="text-align: center;" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} T_{\textsf{rotating}}=\sum_{j}\frac{1}{2}m_{j}(\boldsymbol{\omega}\times \mathbf{r}_{j})^{2} \end{aligned} )]}}} 여기서 [math(\mathbf{r}_{j})]는 질량 중심을 시점으로한 질점 [math(m_{j})]까지의 위치 벡터이다. 이것은 [[관성 텐서]] [math(\pmb{\mathsf{I}})]를 도입하여 다음과 같이 쓸 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center;" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} T_{\textsf{rotating}}&=\frac{1}{2} \boldsymbol{\omega}^{T} \pmb{\mathsf{I}}\boldsymbol{\omega} \\ &= \sum_{ij}\frac{1}{2} I_{ij} \omega_{i}\omega_{j} \end{aligned} )]}}} 논의를 축을 중심으로 회전하는 강체에 대해 국한 시키면, {{{#!wiki style="text-align: center;" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} T_{\textsf{rotating}}=\frac{1}{2}I\omega^{2} \end{aligned} )]}}} 이다. [math(I)]는 강체의 [[관성 모멘트]]이다. === [[각운동량]] === 마찬 가지로 [[관성 텐서]] [math(\pmb{\mathsf{I}})]를 도입하여 다음과 같이 쓸 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center;" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{L}&=\pmb{\mathsf{I}}\boldsymbol{\omega} \\&=\sum_{j} I_{ij}\omega_{j} \end{aligned} )]}}} 관성 주축을 회전 축을 하게 되거나 어떤 축을 중심으로 회전하는 강체는 [[관성 모멘트]] [math(I)]를 도입하여 {{{#!wiki style="text-align: center;" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{L}&=I\boldsymbol{\omega} \\& \end{aligned} )]}}} 로 쓸 수 있다. == 관련 문서 == * [[등속 원운동]] [각주][include(틀:문서 가져옴, title=각가속도, version=18)] [[분류:물리학]]저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기